APPLICATIONS

154. On a souvent besoin de transformer une fraction dont le dénominateur contient des radicaux en une autre équivalente dont le dénominateur soit rationnel. Voici quelques exemples :

fn U*)’ * ’

a « (y/p qr <Jg) “ ( P V?)

2 ■ \fp±\fq {>fp — \f(i) (^pZjps/f/) [\fpY — (y/?)'

3°. On rendrait de même rationnel le dénominateur de

m + \fp -t- \ ÿ ’

en multipliant d’abord haut et bas par y I ni -t- y lp — y' «y, puis en multipliant les deux termes du résultat par ni +p — <y — 2

158. Comme application du calcul des radicaux, nous indiquerons encore une méthode générale pour trouver les vraies valeurs

des expressions irrationnelles qui se présentent sous la forme -

par suite d’une valeur attribuée à une seule lettre.

Soit une expression de la forme

X = p + Vm-v'n

Q-hÇ'R

Les radicaux peuvent être en nombre quelconque, et les quantités P, Q, M, N, R sont des polynômes entiers en r. Par hypothèse,

cette expression devient — pour x = a, et l’on a

RADICAUX ; IMAGINAIRES

on peut donc écrire

v ( p + 7 m - yw) - ( p . + ;/m, - yK) .

(Q •+• v/R) — (Q<i-h VR“)

Q — Q, y' R — 7 17 R — Ra

et comme cette expression se compose uniquement de fractions de l’une des deux formes

Ma

il suffira de chercher les vraies valeurs île ces fractions, qui d’ailleurs deviennent aussi - pour .r = a.

Le numérateur de la fraction (2) étant un polynôme entier en x qui s’annule pour x = a , doit être divisible par x — a ; on effectuera donc la division, et en faisant x = a dans le quotient, on aura la vraie valeur de cette fraction.

Considérons maintenant la fraction (1); en posant

d’où

on a

qui , pour x — a , c’est-à-dire pour y — a, devient

. ou ’

"> a in v M„

c’est la vraie valeur de la fraction (1).

Exemple. — L’ex pression

qui devient - pour x = i, a pour vraie valeur