En combinant les deux expressions

a + bi , c -H di

par addition, soustraction, multiplication et division, on trouve successivement

(a bi) 4- (c -h di) = [a 4- c) 4- (b 4- d)i ,

(a 4- bi) — ( c -t- di) — {à — c) 4- (b — (/) i,

[a 4 - bi) (r 4 - di) — ac 4- bdP 4- [ad 4 - bc) i

— [ac — bd) 4- [ad 4 - bc) P,

a 4- bi (a 4 - bi) (c — di) ac — bdP 4 - [bc — ad) i

r 4 - di [c 4- di) [c — di) c 1 — (PP

ac 4- bd bc — ad c 1 4 - (P c 1 4 - d‘ ’

RADICAUX j IMAGINAIRES. I >5

et l’on voit que tous ces résultats sont de la forme

A + Bi. •

143. Théorème I. — En multipliant membre à membre plusieurs égalités de la forme

(i) # a 4* bi — a' -+■ b' i ,

on obtiendra une égalité de la forme (.141)

( 2 ) A -f- B i zee A' -f- B' /,

dans laquelle A sera égal à A' et B sera égal a B'.

En effet, avant de rabaisser les exposants de i au-dessous de en posant r = — i, les deux membres de l’égalité qu’on obtient en multipliant les égalités (i) seront deux polynômes de même degré en i et qui ne différeront que parle changement de a, b,..., en a’, b',...\ dans ces deux polynômes, les coefficients des mêmes puissances de i seront donc égaux, puisqu’en posant les égalités ( i), on savait d’avance que a, b,..., étaient égaux à a', b',...-, l’égalité de ces coefficients subsistera donc quand on aura rabaissé les exposants de i au-dessous de 2 , et l’on aura

144. Théorème II. — Pour qu'un produit soit nul, il faut et il suffit que C un des facteurs soit nul.

Il s’agit d’étendre à un produit de facteurs imaginaires ce théorème qui est évident pour un produit de facteurs réels.

Soit donc le produit

(fl -+- bi) (c -+- di) — (ac — bd) -+- (ad -+- bc)i\

on n’a le droit de l’égaler à zéro que lorsqu’on sait d’avance que les quantités ac — bd, ad - f- bc sont séparément milles, et, par suite, que l’on a

( 1 ) ( ac — bd) 1 -+- ( ad -f- ôc}’ = o.

Réciproquement cette relation entraîne

ac — bd = o , ad bc — o , et, par conséquent, annule le produit qui précède.

Or l’égalité (i) peut s’écrire

•( a 7 -+- 6 ’) (c J -t- d 1 ) ~ o ; elle exige donc qu’on ait

\ bz=o.

S0lt i j

c’est-à-dire que l’un des facteurs imaginaires soit nul.