UTILITÉ DES IMAGINAIRES. — NOUVELLE DÉFINITION DE L'ALGÈBRE

lÿd. Le signe ^ — i est dû au géomètre bolonais Bombclli ; mais c’est Albert Girard qui a montré le premier l’utilité de l’introduction des imaginaires dans la langue algébrique. Nous allons faire voir comment l’emploi transitoire de ces symboles permet d’arriver d’une manière élégante et rapide à des résultats dont la démonstration directe serait souvent fort pénible.

Si dans l’identité

(<*§' — Sa') (qS' — 3y')

on fait

a == a ■+• bi , 7 = /? H— <7» , a'

6 = c -f- (•//, 3 — r -+- si , S'

on obtient la relation

= (pa — qb - 4 - rc — sd)' -f- ( qa +- qb — sc — rdy -+■ ( ra — sb — pc -+- qdf -4- ( sa rb - f- qc - 4 - pdf,

qui exprime que le produit de deux sommes de quatre carrés est encore une somme de quatre carrés.

Ce théorème est dû à Euler, mais la démonstration précédente est de M. Hcrmite.

140. Ce qui rend légitime l’emploi transitoire des imaginaires,

— ( aS -|- a! 3 ' ) ( 67 -4- 6' 7' ),

= — c — di , 7 ' = — r -4- si ,

= a — bi, 3' = p — qi ,

radicaux; imaolnaikks. i a*j

c'est que les relations d’où l’on part n’expriment que des faits de combinaison .

Pour éclaircir cette idée, prenons un exemple simple. Soient cc, âc, y. , sc ,

quatre facteurs égaux deux à deux ; on obtient leur produit en multipliant indifféremment le produit de deux quelconques d’entre eux par celui des deux autres , et l’on a

(actj (a' a') = (a*')

Cette égalité exprime un fait indépendant de toute propriété des grandeurs; elle est la traduction algébrique d’un principe qui résulte seulement de ce que la multiplication est une combinaison dans laquelle les facteurs entrent symétriquement ; et pour que ce principe subsiste, il n’est pas nécessaire qu’on attache un sens arithmétique cette combinaison , ni par suite que les facteurs représentent des nombres réels. On peut donc poser *

a = a -+- bi , a’ — a — bi j et l’égalité primitive devient

(a -f bi) 1 (a — bi) 2 = [(a -t- bi) {a — f>/)) 3 ,

(a 2 — b 2 + aabi) (a 2 — b 1 — 2 abt ) — (a* -f b ’)’,

d’où l’on voit que , si un nombre de la somme est deux carrés, son carré jouit de la même propriété.

Nous dirons donc avec M. Poinsot •

•< Il y a une algèbre supérieure qui repose tout entière sur la » théorie de l’ordre et des combinaisons, qui s’occupe de la » nature et de la composition des formules considérées en elles- « mêmes, comme de purs symboles et sans aucune idée de valeur » ou de quantité. C’est à cette partie qu’on doit rapporter la théo- » rie profonde des équations, celles des expressions imaginaires, * et tout l’art des transformations algébriques; et c’est même celte » seule partie élevée de la science qui mérite, à proprement » parler, le nom A' Algèbre. »