PN O

qui ont b * — 4 ac pour carré;] lieu des relations

par conséquent l’équation ( 2 ) tient

2*ix -t- b — — y b' — 4 nc ,

qui donnent

— b — ^ b 7 — 4 ac

JT — ■" • ■ ■ — — - •

L’équation (t) a donc deux racines réelles et inégales lorsque b 7 — 4 ac cst posilij. .

2 ". Si b 7 — 4«r est nul, l’équation ( 2 ) se réduit à

ou 2 nx b = 0 ;

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A UNE INCONNUE

«le sorte que l’inconnue x n’a qu’une valeur

2rt

Néanmoins on dit que, dans le cas de b 1 — /\ac = o, l’équation (2 ) a deux racines égales.

3 °. Lorsque b 7 — 4 ac est négatif , l’équation (2) n'admet pas de solution positive ou négative, car le premier membre, qui est un carré parfait, ne peut être égal à un nombre négatif.

Cependant, on convient de dire que l’équation (1) a deux racines représentées par la formule

— b ~àz\]b' — 4 ac

et que ces racines sont imaginaires.

Il est facile de vérifier qu’en substituant ces expressions à l’inconnue, on rend l’équation (1) identique, pourvu qu’on traite ces racines carrées des nombres négatifs d’après les règles ordinaires de l’Algèbre, et qu’on regarde leurs carrés comme s’obtenant par la suppression du radical. Il en serait de même si, au lieu de

\j b* — 4 \ nr 1

on écrivait

v4 ac — b‘ ^ — 1 ;

çl c’est ce que l’on fait ordinairement, afin que la seule quantité imaginaire à considérer dans les calculs soit \j — 1 . Les valeurs de x prennent alors la forme

et l’on opère sur de telles expressions comme si y — 1 était un * nombre ordinaire ayant pour puissances successives

L’introduction des imaginaires dans la langue algébrique permet ici d’énoncer ce théorème général :

Une équation du second degré

ax 1 bx -f- c ™ u

i 32 chapitre onzième.

a toujours doux racines réelles ou imaginaires données par la formule

— b rfc b 1 — Lac

.x xx.