Les racines de l’équation
i ax‘ -+- b.r r = o ,
sont
— b V b 1 — 4 nr — b — V^ 3 — 4 ac
Dk
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ÉQUATIONS DU SECOND DECBÉ A UNE INCONNUE. 1 35
leur somme est égale à — -i et leur produit a pour valeur 6’ — ( b* — 4 ac ) c
En opérant sur l'équation
on eût trouvé — p pour la somme et q pour le produit des racines, en sorte qu’on peut dire : Dans toute équation du second degré dont le terme en x‘ a pour coefficient l'unité , la somme des racines est égale au coefficient de x pris en signe contraire et le produit des racines est égal au terme tout connu.
Il suit de là i°. Que si deux nombres ont une somme S et un produit P, ils sont les racines de l’équation du second degré x 1 — Sj + P = ü.
2 °. Que, pour former une équation du second degré dont tes racines soient deux nombres donnés , il faut prendre V unité pour coefficient de.r prendre la somme de ces nombres changée de signe pour coefficient dex , et écrire le produit de ces nombres pour terme tout connu. Ainsi , l’équation du second degré qui a pour racines les nombres
est
135. Le théorème précédent permet encore de trouver les signes des racines d’une équation du second degré, sans résoudre l’équation , lorsque ces racines sont réelles.
D’abord, suivant que - a le signe -f- ou le signe — , les racines sont de même signe ou de signes contraires. Dans le premier cas, le signe commun des racines est celui de leur somme ; dans le
second cas, le signe de la somme — - est celui de la plus grande racine.
Exemples :
les racines sont de signes contraires, puisque leur produit — —
est négatif; la plus grande a le signe -+- , puisque leur somme ^ est positive. . •
les racines sont de même signe, puisque leur produit est
positif; elles ont d’ailleurs le signe -+- , puisque leur somme
a ce signe.
Avant d’appliquer ces règles, il faut toujours voir si les racines sont réelles, c’est-à-dire vérifier que le nombre b ' — 4 ac est P°‘ sitif. 11 est un cas où, pour reconnaître la réalité des racines, il n’est pas nécessaire de recourir à l’expression b 1 — 4 ac i ^ cs racines sont
toujours réelles quand le terme — est négatif.
En effet , l’égalité
a 1 . — = ac a
montre que lorsque -est négatif, il en est de même de ac; par suite le produit — 4 ac est positif, et à fortiori l’expression
b * — 4 ac -
Ainsi , à l’inspection même de l’équation 3 x % -f- 2 x — 65 = o , on doit dire que les racines sont réelles.
PROPRIÉTÉS DU TRINOME «x* -i- Ix c.
