On ramène l’équation

ax' m 4- bx"‘ 4- c — o

à une équation du second degré, en posant x m — y; on a alors ay' -h by + c = o ,

d’où

y ou x m —

— b ± sjb % — 4 '

— b ± sj b- — 4

Dans le cas de m = 2 , l’équation proposée ax' 4- bx 2 -f- c — o

prend le nom d’équation bicarrée : ses racines sont données par la formule

— b it b‘ — 4 nc

Elles sont donc au nombre de quatre, et elles sont égales deux à deux eide signes contraires. Toutes les quatre sont réelles si les deux racines'de l’équation

ay 2 4- by 4- c — o

sont positives; si une seule des valeurs de y est positive, x n’a que deux valeurs réelles. Enfin si l’équation en y n’a que des racines négatives ou imaginaires , x est imaginaire.

TRANSFORMATION' DES EXPRESSIONS DE LA FORME V'n -+- fi.

161. La résolution des équations bicarrées conduit à des expressions telles que

V A dz y/B.

Nous allons chercher dans quel cas une semblable expression peut être ramenée à la forme

S fx±\[ÿ,

où .r et / sont des quantités rationnelles.

En remplaçant les deux relations

Va -+- V® = fie -+- <Jx,

VA — \/B = — \jy

par leur somme et leur différence

Va h- \/b -+- Va — Vb = 2 V*>

Va -h v/b — Va — y' B = 2 Vxi puis clevant au carré , on trouve

4 * = a - h Vb + 2 Va 1 — b + a-v'b = 2A + 2 Va 5 — b, 4 r = A -+- Vb — 2 Va 2 — B + A — v B =: 2 A — 2 Va 1 — b,

d’où

A •+ Va 2 — B A — J A * — B

et.

VÂ±yg= fx ± s/? =\J A+ -^ B ±y/ A ~

Cette formule est vraie, quels que soient A et B; mais elle n’est avantageuse qu’autant que x et y sont rationnels, c’est-à-dire qu’autant que la quantité A 2 — B est un carré parfait.

ÉQUATIONS RÉDUCTIBLES AU SECOND DEGRE

Exemples :

2 °. On démontre en géométrie qu’en désignant par c le côté d’un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon r, et par x le côté d’un polygone régulier inscrit d’un nombre double de côtés, on a

A = 2 r 3 , B = 4 r< — e’r 3 , A. 3 — B = 4 — ^r' + cV=cV

et l’on a

hvhw-r)-

3°. fiütÿ ± .

Le résultat est donc encore de la forme A + B y/ — i •