ARTIFICES PARTICULIERS

165. On substitue souvent avec avantage des procédés particuliers à la méthode générale. Les artifices les plus usités consistent à prendre pour inconnues la somme et la différente des inconnues primitives, ou bien leur somme et le^ir produit, c’est-à-dire à ramener le système proposé à l’un des groupes

■t -h y = s, x-hy — s-,

Dans le premier cas, x et y ont pour valeurs

et dans le second, x et y sont les racines de l’équation du second degré ( 182 )

f Exemple I. — Le système

équivaut à

ÉQUATIONS RKIUICTIRI.ES AU SECOND DEGRÉ. 1^7

^ KxF.MPLE.il.

x 1 -f- r’ ss a 5 , j ■= b.

En retranchant la première équation du carré de la seconde, on trouve

(x -f-/)’ — x 1 — y 1 = 2 xr ±= A 2 — «-

ou

xy

x et y sont donc les racines de l’équation du second degré

d’où

Pour que Z soit réel , il faut que 2 a 1 soit]> 6 ’ ; le minimum de a’

est donc - b } , et alors

de là ce théorème : Lu somme des carrés de deux nombres dont la somme est constante est minimum lorsque ces nombres soïït égaux. On peut encore l’énoncer :

De tous les rectangles de même périmètre , le carré est celui qui a la plus petite diagonale.

De tous les carrés inscrits dans un carré donné, le carré minimum est celui que l’on forme en joignant les milieux des côtés du carré donné.

Parmi tous les triangles rectangles dans lesquels la somme des côtés de l'angle droit est constante, celui qui a la plus petite hypoténuse est le triangle isocèle.

Exemple. III.

x— y =a, xj- = b.

Enajoutantau carré delà première équation le produit de laseronde

par 4 » «>n trouve

(.r H- j )’ rp. a’ + 4 *

en sorte «pie le système primitif est ramené à

ou &

(2) xyz=b, x 4 - y = Ja 7 + 4 b :

c’est évidemment le groupe (1) qui doit être préféré.

SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ 164 . Soit proposé de résoudre les équations simultanées ax 1 4 - bxy 4- ry 1 4- dx 4- cy 4- f = o , a 1 \r* 4- b' xy 4 - c'y 7 4 -</'x+ c'y 4- f — a. •

Éliminons par la méthode de réduction; en d’autres termes, ajoutons à la première équation multipliée par c la seconde multipliée par — c ; le résultat est de la forme

A x 5 4- B xy 4- D r 4- E/4- F = o.

F.n substituant alors la valeur de y tirée de cette relation

A r’ 4- Dx-|- F y ~ Bx 4 - E ■

dans la première des équations proposées, on trouve une équation du 4 e degré en x de la forme

M x’ 4 - N x’ 4- P x J 4- Q x 4- R = o , et le système primitif est remplacé par le groupe

M .x 4 4- N x* 4- Px’ 4 - Q x 4- R r= o , a' x 7 4- b' xy 4- c' y 7 4 -rf'x 4 - e' y 4 - f ~ o.

Si l’équation du quatrième degré est bicarrée, ou si elle se réduit au

•ÉQUATIONS REDUCTIBLES AU SECOND DECRÉ. ,fg

second degré, on saura la résoudre, et en substituant les valeurs de x ainsi obtenues dans l’autre équation, on aura les valeurs correspondantes de /.

Exemple :

8xy — 42 y -+9 = 0,

La première équation ne contient pas/’; en la résolvant par rapport à /, et substituant la valeur