DIVISION DINE DROITE EN MOYENNE ET EXTREME RAISON
171. Diviser une droite en moyenne et extreme raison , c'est-àdire la partager en deux parties telles , que l’une d'elles soit moyenne proportionnelle entre la ligne entière et l’autre partie.
Soient a la ligne entière et .r la plus grande partie. On doit avoir
et
~ ( — 1 — fê)‘
La racine positive répond seule à l’énoncé. Pour interpréter la solution négative, on change x en — z dans l’équation primitive ; la transformée
•r J = a (fl -+- x)
répond évidemment au problème suivant : Trouver sur la ligne AB prolongée un point X' tel, que la distance AX' soit moyen ne proportionnelle entre X'B et AB; l’équation (î) résout donc le problème général : Trouver sur la droite indéfinie AB, un point tel, que sa distance au point A soit moyenne proportionnelle entre sa distance au point B et la longueur AB.
il en résulte
Pour construire les valeurs de x, élevons au point B la perpendiculaire
BC = - a ; a
x' = AC — BC,
x" = AC 4- BC.
En décrivant alors de C comme centre avecBC pour rayon la demicirconférence DBD', puis en rabattant au moyen de deux arcs de cercle D en X, D' en X', on obtient
c'=AD = AX, x' = AD'=AX';
• d by Coogl
PROBLEMES 1>U SECOND DEGRÉ. i5t»
X et X' sont donc les points cherchés, et l’on retrouve la construction donnée en géométrie élémentaire.
172. Dans le problème précédent, l’équation admet plus de solutions réelles que l’énoncé, et nous avons pu modifier cct énoncé de façon que chaque solution de l’équation répondit à un cas du problème; cette généralisation n’est pas toujours possible.
Exemple :
Couper une sphère par un plan , de façon que le volume du segment soit égal au volume du cône qui aurait pour base la base du segment et pour sommet le centre de la sphcrc.
Soit x la distance du centre au plan sécant; le volume du segment est
celui du cône
et Ton a on
i* ar(r l — .r 3 ),
En faisant abstraction de la racine x — r, qui donne un segment et un cône nuis, on n’a plus à considérer que l’équation du second degré
x 3 -( - rx — r 1 — o ;
et si l’on remarque que cette équation est celle qu’on trouve quand on se propose de partager le rayon en moyenne et extrême raison de façon que le plus grand segment parte du centre, on voit qu’il y a deux solutions : l’une positive et inférieure à r, qui convient à la question , et l’autre négative et supérieure à r en valeur absolue, qui doit être rejetée, puisqu’elle indique un plan sécant qui ne coupe pas la sphère.
PROBLÈME DK PAPPIS-
J 75. Par un point M pris sur la bissectrice d’un angle droit , mener une droite telle, que ta partie interceptée entre cct angle ait une longueur donnée l.
CHAPITIU' TREIZIÈME.
Le point M est déterminé quand on donne sa distance a aux côtés de l’angle droit.
Soient OP = .V, OQ = y les inconnues. L’aire du triangle rectangle POQ est égal à la somme des aires des triangles OMP , OMQ; de là l’équatinu
(i) . xy a(x 4 - y );
on a d’ailleurs
/’ = x’ 4 - y- = (x 4 - y Y — 2 xy = (j: + ;)’-2«(i+|)i d’où
(x 4-/}’— ia (x 4 - y) — /*= O
et
(2) x+; = fl±|/«' + /’;
x et y sont donc les racines de deux équations du second degré. Nous laissons au lecteur le soin de voir qu’il y a quatre solutions, dont deux sont toujours réelles, et dont les deux autres n’existent qu’autant que
/ est > 2 « v'2 2 MO.
Les racines négatives correspondent d’ailleurs à des segments comptés sur les prolongements des côtés «le l’angle droit, à partir du sommet. Nous nous contenterons de montrer comment on construit x et y d’après les équations (1) et (2), sans les résoudre.
Fiff. 1 1 .
Prolongeons M<J d’une longueur ME = /, et du [joint D comme centre avec DE pour rayon décrivons la denti-circonférence F' EF 5 on a
FM = - ( DF - DM )
— n — y /«’ +- P, MF'= DM 4 - DF'= u -y DF = n + 4 - P ;
en sorte que les deux valeurs de x 4 -y sont
— FM et MF'.
PROBLEMES l)U SECOND OF.CRK.
Considérons la seconde valeur
x + y = MF' = za + MF.
En appelant 1 le milieu de MF, on obtient
x A- y — DI ,
ee qui conduit à poser
x — DI -f- z, y = DI — z;
d’où
xy - r DI — z’,
2 a DI — |)I — z 1
et
z 1 = DI — 2«DI = (n -t- MI)*— ia{a + MI) = MI — «’ = IH,
■ 5cj
en désignant par II le pied de la perpendiculaire abaissée sur DF ^ du point P où le côté OA est coupé par la circonférence décrite sur MF comme diamètre; on a ainsi les deux solutions
PQ et P’Q'.
La demi-circonférence décrite sur MF' comme diamètre donnerait les deux autres solutions
Si la longueur / est moindre que i MO, la circonférence MF ne coupe pas AO, et les solutions
