CONE CIRCONSCRIT A LA SPHÈRE

174. Circonscrire, à une sphère donnée un c6nc droit de surface totale donnée.

En désignant par R le rayon de la sphère, par xté la surface donnée, et appelant x le rayon de la base du cône, y la hauteur de

l(jo CHAPITRE TREIZIÈME.

ce cône et z son apothème, on a facilement (l) .r(x z) = «’,

v'TTr — 2R J

En portant dans (i) trouve

la valeur de z tirée de la relation ( 2 ), on

qui, à cause de (3), devient y — îR

La somme des deux facteurs du premier membre est — et leur

produit 2 fl 7 ; en sorte que la hauteur y du cône s’obtient en con-

struisant un rectangle dont la somme des dimensions soit — et

dont la surface sera égale à 2 a\ ce qui est un problème connu. L’équation (4)» qu’on peut écrire sous la forme

montre que y n’est réel qu’autant que

Le minimum de la surface du cône circonscrit est donc égal à 8R J ,

et l’on a alors

Le cône droit de surface totale minimum, circonscrit à une sphère, jouit donc des propriétés suivantes :

1 ". Sa hauteur est double du diamètre de la sphère;

PROBLÈMES DU SECOND DEGRE. 1 6 1

2 °. Son apothème est triple du rayon de sa base ;

3°. Sa surface est double de la surface de la sphère et, par suite, son volume est aussi double de celui de la sphère.