SUR LE TRIANGLE RECTANGLE

173. Trouver les cétés .r, y , z d’un triangle rectangle dont on donne le périmètre 2 p et ta surface m 7 .

Les équations du problème sont évidentes :

(1) c ri- y -h z = 2.p,

( 2 ) .ry — 2 né,

En portant dans l’équation (3) la valeur de z tirée de l’équation ( 1 ), et remplaçant xy par 2 né, on trouve '

, , . p 1 - 1- né

p- — p \ x ri- y) ri- m 7 — a ou x ri- y = 1 ;

x et y sont donc les racines de l’équation

et z est égal à

— X t- 2 né — o ,

, . p 7 ri- m 7 p 1 — m'

z — 2 p — x ri- y ) — 2 .p — = t- ;

z est toujours réel : pour qu’il soit positif, il faut qu’on art

D’ailleurs les racines de l’équation (4) sont positives, si elles sont réelles, c’est-à-dire si l’on a

Les conditions de possibilité se réduisent donc aux deux inégalités précédentes.

Or, pour que la dernière inégalité soit remplie, il faut que p 7 ne soit pas compris entre les deux racines

l(j2 CHAUT»* TREIZIÈME.

de l’équation

de là les conditions

/>’>> «i’(3 4- 2 ^), P* — isjz) ,

dont la dernière est inadmissible, comme étant incompatible avec la formule (5), on a donc seulement

p > m v3 -1- a ou p > m (i -+- y'a),

que l'on peut encore écrire

Si donc in est donné, le minimum de p est

et si p est donné, le maximum de m est p {'!’*■ — ')•

Dans les deux cas, on a

/ W (2 -+- \Jn) r-

y = m \fï, z =2 m;

en sorte qu’on peut énoncer ce théorème :

Le triangle rectangle isocèle est, de tous les triangles rectangles de meme périmètre, celui qui a la plus grande surface, et, de tous les triangles rectangles de même surface, celui qui a le plus petit périmètre.