PROBLÈME SUR LES POMPES

' 176. On commence à faire mouvoir le piston d’une pompe aspirante; trouver à quelle hauteur s’élèvera l’eau dans le tuyau d’aspiration après le premier, le second , . . . coup de piston. Combien faudra-t-il de coups de piston pour clevcr l’eau jusqu’il la soupape d’aspiration ?

PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ

Soient

B la section du corps de pompe;

L la hauteur EP à laquelle s’élève le piston;

« la section du tuyau d'aspiration; l la longueur hs de ce tuyau ;

H (a hauteur de la colonne d’eau qui fait équilibre à la pression atmosphérique ; x la hauteur hh' que l’eau a atteinte après un certain nombre de coups de piston ; x, la hauteur hh" à laquelle un nouveau coup de piston la fera parvenir.

Quand l’eau s’est arrêtée en h', le piston était en P ; la soupape S s’est fermée par son propre poids , et l’on a abaissé le piston jusqu’en E. Alors l’air qui a pour volume

a une élasticité proportionnelle à

puisqu’il fait équilibre à la pression atmosphérique diminuée de la colonne d’eau hh! .

Lorsque le piston s’élève en P, l’eau vient en h", et la masse d’air considérée occupe le volume

BL -f- « ( / — a:,);

son élasticité est d’ailleurs proportionnelle à

La loi de Mariotte donne donc

ou

et

(H — x) (/ — x)u = (H — x,)[BL -4- u (/ — x,)]

P > /Ël-MH-hW, -4- - Ï1L -f- ( H -f- / ) x — x’ = o

jt, =r= — I — L -f- / ~f- 1 \w

: 'J ( H -/-?lV-i-L(H-x)(/-x).

I.*’s deux racines sont réelles, car H étant supérieur à x , le produit

est positif; celle qui correspond au signe -+- du radical est plus grande que

c’est-à-dire plus grande que H. Elle ne convient donc pas, puisque l'eau ne peut évidemment s’élever à une hauteur supérieure à H ; le radical doit donc avoir le signe — .

Cela posé , l’équation

permet de calculer de proche en proche les hauteurs auxquelles les coups de piston successifs élèvent l’eau.

Pour trouver la hauteur due au premier coup de piston , on fait x — o ; puis, en multipliant x par la hauteur ainsi trouvée, on a la hauteur due aux deux premiers coups* etc.

On s’arrêtera dès qu’on aura trouvé une hauteur supérieure à /.