MÉTHODE GÉNÉRALE

179. La valeur d’une expression algébrique en x dépend du nombre qu’on met à la place de la variable x ; et il peut arriver que , lorsque x croît peu à peu à partir d’un certain nombre , l’expression soit tantôt croissante et tantôt décroissante; chaque passage de l’un à l’autre sens est alors marqué par un état maximum si l’expression cesse de croître pour diminuer, ou par un état minimum si l’expression cesse de décroître pour augmenter. Ces états critiques sont alternatifs, et une expression peut posséder à la fois plusieurs maximums et plusieurs minimums. D’après cela , une valeur maximum n’est pas nécessairement supérieure à toutes les valeurs de l’expression considérée; il suffit qu’elle surpasse celles qui la précèdent et celles qui la suivent immédiatement. Une observation analogue convient au minimum.

Par exemple : pendant qu’un mobile M parcourt la ligne ABCDEFG dans le sens de la flèche , sa projection m sur

l’axe OX s'éloigne d’un point fixe O de cette droite ; la distance du mobile à OX est une grandeur M m qui dépend de l’espace variable x — O m qui sépare sa projection du point O; cette distance est maximum pour x -x= O b, O ri, Of, et minimum pour x = Oe, Oe.

On voit, d’ailleurs, qu’on n’altère pas la valeur de x qui rend une expression maximum ou minimum en multipliant ou divisant cette expression par un facteur indépendant de x; cela revient à augmenter ou à diminuer dans un rapport constant les distances des divers points de la courbe ABCDEFG à la droite fixe OX.

Fi('. 14.

I ’jO CHAPITRE QUATORZIÈME.

Cette remarque est très-utile : avant de chercher dans quelles circonstances une expression donnée est maximum ou minimum , il faut toujours débarrasser cette expression des facteurs constants qu’elle contient.

L’Algèbre élémentaire considère la recherche des valeurs maximums ou minimums, comme un cas particulier de la question qui consiste à faire acquérir à l’expression proposée une valeur quelconque. On égale celte expression à une quantité indéterminée y; et s’il résulte de la discussion de l’équation ainsi obtenue que x n’est pas réel pour toutes les valeurs de y ; si l’on trouve , par exemple, que

x est imaginaire pour réel

imaginaire

réel

on doit conclure que les valeurs sont des maximums

de /, et les valeurs a , c , • . . des minimums.

De là cette règle pratique : Égalez à y l’expression proposée , après l’avoir débarrassée de ses facteurs constants ; exprimez que l’équation en x ainsi obtenue a ses racines réelles; ces conditions assujettiront y à rester entre certaines limites qui seront précisément les maximums et les minimums cherchés.

Voici quelques exemples de cette méthode, que nous avons d’ailleurs employée déjà dans le chapitre précédent.