ALVÉOLE DES ABEILLES

181 . Soit S un point pris sur le prolongement de l'axe 00' d’un prisme droit ABCDEFA'B'C'D'E'F' h base hexagonale régulière ; par ce point et par les côtés du triangle équilatéral ACE obtenu en joignant de deux en deux les sommets de la base supérieure, on mène trois plans qui détachent du prisme trois tétraèdres BACK, DCEH , FEAL , et les remplacent par un tétraèdre unique SACE placé au-dessus du prisme. Le solide ainsi formé est terminé , à sa partie supérieure, par un hexagone gauche composé de trois lozanges SAKC, SCHE, SELA; son volume est indépendant de la position du point S sur l’axe; il est toujours égal au volume du prisme , car la pyramide

Fig. i5.

ajoutée SACK se compose (je trois pyramides SOAC, SOCK, SOEA , qui sont respectivement égales aux trois pyramides détachées. Il s’agit de trouver la hauteur du [joint S qui rend minimum In surface de ce décaèdre.

Prenons pour unité la moitié du côté AB de l’hexagone; désignons par h la hauteur du prisme et par x la hauteur inconnue du sommet S au-dessus du plan de la base supérieure. Un a

a'i = ab v'3 = y'3, si = y/siT -t- oi’ = v /i* -+-V,

et comme la surface considérée se compose de six trapèzes égaux à A'KBA et de six triangles égaux à SAK, la quantité à rendre minimum a pour expression

En l’égalant à 2 h -+- y, on a successivement

3 ( x‘ -+- 1) = (j- -f- y )’, 2 xè — 2 yx -+- 3 — y' ~ o.

La condition de réalité des racines est

y* — 2( 3 — y-) o , ou y yfi ;

la surface est donc susceptible d’un minimum , et ce minimum a lieu pour

OU