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AB v'i

c’est-à-dire lorsque la différence des deux arêtes consécutives AA', BB' est égale au quart de la diagonale du carré construit sur le côté de l’hexagone.

Les trois angles plans de l’angle trièdre K sont alors égaux ; leur valeur commune est de 109'’ 28' 16" environ ; les trois dièdres sont égaux chacun à 120 degrcs.

Les alvéoles des abeilles sont des décaèdres à surface minimum semblables à celui que nous venons de décrire ; l’hexagone est l’entrée de l’alvéole; le miel est déposé dans le fond; les abeilles construisent d’abord les losanges, puis les faces trapèzes. Qu’on se ligure un plan rempli par des hexagones, et qu’on construise

QUESTIONS DE MAXIMUM ET 1)E MINIMUM. I n 3

sur chaque hexagone un alvéole , les sommets se trouveront dans un plan parallèle au premier. Enfin, qu’on place cette figure sur une autre pareille, de façon que les sommets s’enchevêtrent, on aura un ensemble de cellules qui portent le nom de rayon. La ruche se compose d’un certain nombre de rayons juxtaposés, de façon que deux mouches puissent passer à la fois entre deux rayons consécutifs.

Ainsi : i" l’inclinaison des trois losanges qui forment le fond de l’alvéole est telle, que la surface soit minimum; 2" le triangle équilatéral , le carré et l’hexagone régulier sont les seuls polygones réguliers qui, pris isolément, puissent remplir un espace plan sans laisser de vide, et de ces trois polygones, l’hexagone pour la même aire a le moindre contour. Il y a donc double économie de cire.

La construction géométrique des alvéoles , remarquée par Pappus, géomètre du iv c siècle avant Jésus-Christ, a été étudiée d'une manière précise d’abord par Philippe Maraldi à l’Observay toire {1712), puis par Réaumur, qui proposa la question du mi-«AV&J)* nimum à Samuel Koenig et à Maclaurin. C’est à ce dernier géomètre qu’on doit la première solution théorique exacte. Kœriig n’avait trouvé que ioç)° 26', an lieu de 1 oq° 28' 1 b" pour l’angle du losange.^*' **** •*£•/•)■''* 7 '■ J

MAXIMUM DE L’EXPRESSIOX -,

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