On pose

ax 7 b.r -4- c ax 7

la condition de réalité des racines de l’équation

( a — a'jr) x 7 -4- ( b — b' y)x -|- c — c' y = o est

• (2) y 1 {b'" — 4 «V) -f-j - (4 ne' + 4 a ' c — 2. b b' ) 4 - l> 7 — 4 «c^>o.

Il y a trois cas à distinguer :

i?j Si b' 7 — 4 «V est positif, la condition (2) est remplie pour toutes les valeurs de y non comprises entre les racines de

y. n ve . - J u fb.Uhi y ,'6^0

l’équation

( 3 ) y' {b'* — /\a' c' )-+- j [^oc' 4- l\a' c — ibb ') H- b 1 — 4 ac~o.

En d’autres termes, y pourra prendre toutes les valeurs possibles, et n’admettra ni maximum ni minimum quand les racines de l’équation ( 3 ) seront imaginaires, ou réelles et égales, et il aura pour limites les racines de cette équation quand ces racines seront réelles et inégales.

2°. Si b' 1 — 4 a ' c ' est nul, l’inégalité (2) se réduit au premier degré, c’est-à-dire est de la forme

my 4- n >• o ;

en sorte que y aura un maximum ou un minimum égal à

suivant que m sera négatif ou positif. D’ailleurs il n’y aura ni maximum ni minimum si m est nul.

£ ^a* J k 3°. Si b' 1 — t^a' c? est négatif, la condition ( 2 ) sera satisfaite pour toutes les valeurs de y comprises entre les racines de l’équation (3). D’ailleurs cette équation a toujours alors ses racines réelles, puisque sans cela y ne pourrait prendre aucune valeur, I ^ ce qui est inadmissible d’après l’équation (,i^,donc y n’aura ni ’ maximum ni minimum lorsque les racines seront égales, et il aura pour limites les racines lorsqu’elles seront inégales.

Exemple. Soit

x’ — 7x4- 12 ^ JC 3 3X-4-2 5

la condition (2) est ici

or l’équation

admet les deux racines réelles — 13,928, — 0,072 ; on doit donc avoir

et l’on voit que y a un maximum égal à — 13,928 et un minimum à — 0,072.

OliKSTlONS DE MAXIMUM ET DE SUMMUM. f]5

La formule

donne pour les valeurs correspondantes de x, 1 ,63, 3,36.