THÉORÈMES GÉNÉRAUX

183. Théorème I. — Le maximum du produit de deux facteurs variables x et y dont la somme est constante a lieu quand les facteurs sont égaux.

En effet, l’identité

( x + — ( x —yy—$xy

montre que x + y étant constant, xy sera maximum quand x — jasera nul, c’est-à-dire quand x sera égal à y.

Inversement , la somme de deux nombres dont le produit xy est constant, est minimum quand ces nombres sont égaux.

Car l’identité précédente, mise sous la forme

(x +y)' = 4 xy-h (x — y)',

fait voir que, xy étant constant, la plus petite valeur dex-4-y correspond à x — y = o, c’est-à-dire à x — y.

184. Théorème II. — Le maximum du produit xyzuv. .. de n facteurs positifs dont la somme est constante a lieu quand tous ces facteurs sont égaux entre eux.

Soit, en effet,

abed. . . kl

ce maximum. Si deux facteurs quelconques b et c étaient inégaux, en les remplaçant par leur moyenne arithmétique

on obtiendrait un nouveau produit

dont les facteurs auraient la même somme que ceux du premier

I^t» CHAPITRE QUATORZIÈME.

et qui serait plus grand que le premier, puisque b -t- c b -f- c

est plus grand que bc.

tn.'î. Scolie. — Le théorème subsiste lorsque tous les facteurs sont négatifs et qu’ils sont en nombre pair; car le produit

ad. . . kl

est encore positif, et, par suite, l’inégalité b -+- c b -t- c .

• bc

entraîne encore

' -d... kl>abcd...kl.

Lorsque tous les facteurs sont négatifs et qu’ils sont en nombre impair, le produit

ad. . . kl

est négatif, et l’inégalité

>bc

entraîne

n t±l b -±ïd...kl<abcd...kl,

c’est-à-dire qu’on a alors un minimum.

18C. Théorème 111. — L’expression x a y e z' / .

dans laquelle x, y, z, .. . sont des nombres positifs dont la somme est constante , est maximum lorsqu’on a

Le produit