APPLICATIONS DU THÉORÈME II

192. Le cube est de tous les parallëlipipèdes rectangles île même surface celui qui a le plus grand volume.

En effet, en désignant par .r, jg, z, les trois arêtes, la surface et le volume du parallélipipède ont pour expression

2 (xy -4- .r z -t- y») et xyz.

Or xyz est maximum en même temps que x 7 y 7 z 7 , lequel est le produit des trois facteurs xy, xz, yz, dont la somme est donnée; il acquiert donc sa plus grande valeur pour

xy — xz=yz, ou x = y = z.

195. Maximum de l'aire d'un trapèze isocèle ABCD, dont la Fig. 18 . petite base AB = a et la longueur com-

, v K p m une c des deux côtés BC , AD non parai -

' / lèles restent constantes.

\ \y Soit x la plus grande base CD ; l’aire du

B * trapèze a pour expression

(x -4- 2 c — a) (îc •+- a — x .

Elle est donc maximum en même temps que le produit x -h a x -y a x -f- 2 c — a 2c-h a — x

QUESTIONS UE MAXIMUM ET l)E MINIMUM. l8l

où a , 6 , y sont îles nombres arbitraires. Si l’on détermine a , 6,7, de façon que le coefficient de x soit nul dans la somme des quatre facteurs qui précèdent, c’est-à-dire de façon qu’on ait

le produit (1) sera maximum lorsque les facteurs seront égaux, c’est-à-dire lorsqu’on aura

x-t-n x -f- 2 c — a ic -+- a — x

L’élimination de — , -, - entre les trois équations qui précèdent a b 7

donne

dont la racine positive

n la}

est la plus grande des deux bases du trapèze cherché. Les quatre côtés du trapèze étant déterminés, il sera facile de le construire et d’exprimer l’aire en fonction des données a, c.

Nous ferons seulement remarquer que l’équation ( 2), mise sous la forme

ou CD X DE = AD,

prouve que le triangle CAD est rectangle en A ; CD est donc le diamètre du cercle circonscrit au trapèze.

Pour c — a, on a x = 2a ; les côtés BC, AB, AD, sont égaux au rayon du cercle circonscrit au trapèze, et chacun des angles DAB, ABC vaut 120 degrés.

Cette ingénieuse méthode qui consiste à multiplier ou diviser par des nombres arbitraires qui sont déterminés ensuite, de façon que les facteurs du produit à rendre maximum aient une somme constante, a été indiquée par M. Grillct ( Nouvelles Annales).

CHAHITIIK QUATORZIÈME.

APPLlCillOIIS DU THÉORÈME III.