Triangle isocèle maximum inscrit dans un cercle
Soient r le rayon du cercle , ax la base du triangle et y la hauteur. La surface xy du triangle sera maximum dans les mêmes circonstances que son carré r 3 y* ; d’ailleurs, la demi-base étant moyenne proportionnelle entre la hauteur et l’excès du diamètre sur cette hauteur, on a
et, par suite.
xé—y{ir — y), x'y’= (zr — y)y 3 .
La somme ( 2 /- — y ) -h y étant constante, il résulte du théorème III que l’expression qui précède est maximum pour
Le triangle est alors équilatéral.
19JS. Maximum de la surface latérale du cône inscrit dans une sphère.
En désignant par r le rayon de la sphère , par y la hauteur du cône et par x le rayon de la base, on a à rendre maximum l’expression nx <Jx* -+- y 5 , les variables .v et y étant encore liées par la relation
Cette expression est maximum en même temps que son carré Tt*x 3 (x 7 +y 3 ) = 2 ir I r( 2 r — y) y 1 ,
or le produit (2 r — y) y* acquiert, en vertu du théorème III, sa plus grande valeur pour
= - ou y = - r.
196. Dans une feuille de carton ABCDE ayant la forme d'un polygone régulier, on inscrit un second polygone régulier A' B' C' D' E' semblable au premier et semblablement placé ; des
QUESTIONS DK MAXIMUM KT UK MINIMUM. 1 83
sommets A', B', C', D', K' on mène des perpendiculaires sur les côtés du premier polygone, et on supprime les petits quadrilatères qui sont ombrés dans la figure ci-jointe. Déterminer l'apothème du nouveau polygone par la condition que la boite qui aurait pour fond ce polygone, et pour faces latérales les rectangles restants , ait un volume maximum .
En désignant par x l'apothème 01 et par / la hauteur IK de la boîte, on voit aisément que x +• y est constant, et que le volume est proportionnel à x 1 y ; ce volume sera donc le plus grand possible, lorsqu’on aura
- = — ou x — = OK. et y — - OK .
EXERCICES
I. Appliquer la méthode générale des maximums aux problèmes suivants :
i”. Maximum de la surface totale du cylindre inscrit dans une sphère.
2 °. Par les deux extrémités d’une droite AB, on mène deux droites BU, AV parallèles et de sens contraire; mener par un point fixe C pris sur AV une transversale CXY telle, que la somme des triangles XBY, XAC soit un minimum.
3°. Trouver sur la ligne des centres de deux sphères un point tel, que la somme des zones vues de ce point soit maximum.
4°. Étant donnés un point et une droite, aller du point à la droite par un chemin tel, que le tempsemploye à le parcourir avec une vitesse V diminué du temps employé à parcourir sa projection avec une vitesse \'f>\ soit minimum. Déduire de là la solution du problème de la réfraction : Deux points A et B étant situés dans deux milieux différents que sépare la droite xy, et v, v' désignant les vitesses de la lumière dans les deux milieux, trouver
l84 CHAPITRE QUATORZIÈME.
le chemin AXB que doit suivre une molécule lumineuse pour aller de A en B dans un temps minimum.
II. Applications des théorèmes I, Il et III ( 185 à 186). i°. Maximum de l’aire d’un triangle de périmètre donné.
2 °. Maximum de la surface latérale du cylindre inscrit dans un cône droit ; y et A étant les hauteurs , et x et r les rayons, on est
conduit à rendre maximum l’expression xy, sachant que- +^ = i ;
on remplace xy par — ■ - et l’on applique le théorème I.
3°. Maximum du volume du cylindre inscrit dans un cône droit.
En conservant les notations précédentes, on a toujours — h - =r i ,
et l’on applique le théorème III après avoir substitué | - J • - à la
quantité x 7 y qu’il faut rendre maximum.
4°. Maximum du volume du cylindre droit dont la surface est' constante; y et x étant la hauteur et le rayon , il faut rendre maximum x 7 y sachant que xy - y x 1 est constant; on substitue à ar’>' son carré (xy) 7 .x 7 et on applique le théorème III.
5°. Rectangle maximum inscrit dans un cercle; x et y étant les deux dimensions , on est conduit à chercher le maximum de xy ou de x 7 y 7 , x 7 -)- y 7 étant constant.
6 °. Volume maximum du cylindre inscrit dans une sphère; x étant le rayon et / la hauteur du cylindre, on est conduit à rendre maximum x 7 y ou ( x 7 ) 7 y : , x 5 -| -y 7 étant constant.
7 “. Maximum du volume du cône droit inscrit dans une sphère ; x étant le rayon et y la hauteur du cône, il faut rendre maximum x 7 y sachant que x 7 = y ( 2 r — y) : on transforme x 7 y en (2 r — y) y 7 et l’on applique le théorème III.
III. Étendre le théorème III au cas 0 O 1 les exposants a, 6 , y... sont des nombres fractionnaires. Lorsque ces exposants sont négatifs, c’est un minimum quia lieu.
