SOMME DES CARRÉS ET DES CUBES DES NOMBRES DE LA SUITE NATURELLE

216. La formule qui donne la somme des carrés des n premiers nombres est souvent utile. Pour la trouver, il suffit d’ajouter par colonnes verticales les identités suivantes :

On obtient ainsi la relation

(ri - 4 - i) J = 3(i J 4 2 3 4 3’ 4-.- .4 n-) 4 3 ” - + ~ - 1 +» + 1 ;

d’où l’on déduit

217. En formant de la même manière les quatrièmes puissances des nombres 1 , 2 , 3 , 4 1 ) , on trouverait, pour la somme des cubes,

Au lieu d’entrer dans les détails de cette opération , qui ne présente d’ailleurs rien de difficile, nous indiquerons un mode de raisonnement très- fréquemment employé en algèbre pour reconnaître l’exactitude d’une formule telle que ( 1 ), et que l’on donne sans démonstration.

On substitue d’abord à n les nombres les plus simples a, 2 , 3. On trouve ainsi

PROGRESSIONS. 11)5

La formule est donc vraie pour n = i, 2 , 3. On aura dès lors prouvé qu’elle est générale, si l’on fait voir qu’en la supposant exacte pour une valeur quelconque de n, elle subsiste pour la valeur immédiatement supérieure : car de ce qu’elle est vraie pour « = 3, on conclura qu’elle subsiste pour n — 4, puis pour 71=5..., et ainsi de suite, jusqu'à telle valeur de n qu’on voudra.

Il s’agit donc de montrer que la relation ( 1 ) entraîne

( 2 ) l’fî’-f 3 !

■zi 3 H- (« -4- 1 )

ou encore, retranchant ( 1 ) de ( 2 ), que l’on a Or le second membre peut s’écrire

en sorte que la formule est vérifiée.