INTÉRÊTS COMPOSÉS

242 . L’intérêt est le bénéfice que fait sur son argent celui qui le prête ; il dépend de la somme prêtée ou capital, du temps pendant lequel on la prête, et du denier de l’intérêt, c’est-à-dire de l’intérêt de t franc par an.

L’intérêt est simple, quand il est retiré à la fin de chaque année, de façon que la somme prêtée reste constante; il est composé, lorsqu’à la fin de chaque année il s’ajoute au capital pour porter intérêt pendant l’année suivante,

243 . Quelle est au bout de n années la valeur x d’un capital a placé à intérêts composés , au denier r.

Au bout d’un an , la somme primitive a s’est accrue de son intérêt ar\ elle est devenue

La somme a (t -+- r) deviendra elle-même au bout d’un an a (1 -+- r) (1 -t- r) ou a(i + r)*.

En continuant ainsi, on voit que le capital acquiert les valeurs a (1 -t- r) 3 , a(i H- r)',. . 0(1 + r) n , après 3 , 4 1 • • - > n années. On a donc

Cette formule renferme quatre quantités x, a,r,n\ on peut lui

donner les quatre formes suivantes :

log x = loga -+- n Iog [ i*-+- r), loga = logx — n log (i

logx — loga , , , logx — loga

n = -±— 2-, log (l -+•/■)= — — *

log(l+r) ' a

chacune d’elles répond à un problème différent dont le lecteur trouvera lui-mçme l’énoncé. Par exemple, si l’on veut savoir dans combien d’années lin capital devient k fois plus grand, il suffit de remplacer x par ka dans la troisième formule, qui devient

" ~~ log (i + '■)’

on voit que ce temps est, comme de raison, indépendant de la valeur du capital ; il faut un peu plus de i4 ans pour qu’un capital placé à 5 pour ioo devienne double.

244 . Lorsque la durée du placement n’est pas un nombre entier d’années et se compose, par exemple, de n années plus p jours, on obtient sa valeur x en ajoutant à l'expression précédente a (î -t- r) n l’intérêt simple de cette dernière somme pendant les p jours ; on a ainsi

La recherche du denier r est alors un problème difficile qu’on résout par approximations successives (Chap. XXI).

Exemple. — Un capital de 2^43 r ,75 est placé à intérêts composés au taux de t\ pour 1 oo ; quelle sera sa valeur an bout de 1 2 ans 3 mois ?

log x = log 2743 r ,75 12 log 1,04 -+- log 1 ,01,

log i ,04 = 0,0170334 1 2 log 1 , 04 = o , 1 9440008 log 2743,75 = 3,4383445 log I , O I = O , 00432 1 37

log x = 3 ,63706595

THÉORIE DES LOGARITHMES

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248 . Pour comparer les valeurs de plusieurs sommes payables à différentes époques, il faut rapporter toutes ces sommes à une même époque.

Un banquier doit une somme a payable dans n années , et il veut s'acquitter en donnant actuellement un billet payable dans p années. Quelle doit être la valeur x inscrite sur ce billet?

Le capital a payable dans n années vaut aujourd’hui — — - ;

le billet .r payable dans p années vaut aujourd’hui doit donc avoir

(i 4-rÿ’

; on

(l 4- r)* ( i 4- rf'

d’où x = a (i 4- r)P ~‘ ",