ANNUITÉS

246. Un emprunt de a francs est fait au denier r à condition d’étre remboursé par sommes égales payées d'année en année pendant n années ; on demande la valeur de /’annnité, c’est-à-dire de la somme à donner tous les ans.

Au bout de n années, on devra

Soit x la valeur de l’annuité ; donner x à la fin de la première année revient à donner

à la fin de la n 1 *"* ; de même donner x à la fin de la seconde année équivaut à donner

à la fin de la n iim “, ainsi de suite ; on aura donc a ( i 4- r) n = x ( i 4- r)*” 1 4 - x (î 4 - r)"- 1 4- x ( 1 4- rf~'-\- ...4--r(i4-r)4-x, a (i 4- r)" = x[(i 4- r)"-' 4-(i 4- r)"-’4-. . . 4- (« 4- r) 4- i],

ar ( i 4- r)"

JC = r r

247. Pour n = oo , on trouve x = ar\ c’est le cas des rentes perpétuelles. Une rente perpétuelle est une somme qu'on doit toucher indéfiniment à la fin de chaque année. Une annuité de x francs payable pendant n années peut être considérée comme la différence de deux rentes perpétuelles de x francs le premier payement de la première ayant lieu dans un an, et celui de la seconde dans n -+- 1 ans. Les valeurs actuelles de ces rentes sont :

r ’ r(i -+- rf

En égalant leur différence à la valeur actuelle a de l’annuité, on retrouve la formule du numéro précédent

ar ( i -f- /•)" (l -+- r) a — i

Exemple. — Une dette de i i58a f ,6o a été remboursée par des annuités de i5oo francs ; on demande quel a été le nombre de ces annuités , le taux étant de 5 pour ioo.

La formule précédente donne

et l’on a

logx — lcg(x — ttf )

log ( i + r)

x — l5oo , a =: i t58?. f ,6o , r= o,o5 , ar= 579, i 3 , x — ar = 920,87,

log 1 5 oo -f- C‘ log 920 ,87 — 10 " ~ log 1 ,o 5

log 920,87 = 2,9641983

C‘ log 920,87 — 10 = 3 ,o 358 oi 7 log 1 5 oo = 3 ,i 7609 1 3

log 1 , o 5 = o , 02 1 1 8930 0,211 8 q 3 o

n — ÿ-, = io

THÉORIE UES LOGARITHMES

EXERCICES

I. Calculer le logarithme de 6574 d ans I e système dont la base est 12.

II. Trouver la base du système dans lequel i 3 est égal à son logarithme. Quel est le système dans lequel ^7 est le logarithme de y'ô?

III. Quelles sont les bases commensu râbles telles, que Iog20 soit commensurable?

IV. Combien faut-il prendre de termes dans la suite naturelle des nombres pour que le produit

1.2. 3 . 4 - 5 . 6. 7. 8. 9. 10. 11,. . . , jc de ces termes sont supérieur à un nombre donné?

V. Quelle sera la valeur comptant d’une rente annuelle a qui s’accroît en proportion géométrique de raison q, en supposant qu’elle dure n années au denier r?

VI. Quelle est la valeur actuelle d’une rente annuelle qui doit durer n années au denier r, si elle croît comme la progression arithmétique d, 2 d, 3 d, de sorte qu’au bout de la première année on reçoive d , au bout de la seconde 2 ri, etc. ?

VII. Un centime ayant été placé au commencement de l’ère chrétienne à 4 pour 100, quelle sera sa valeur en 1860? Calculer le rayon de la sphère d’or qui équivaut à cette somme et comparer ce rayon à celui du globe terrestre.