PRODUITS DIFFÉRENTS

2GC. Lorsqu’on a tous les produits différents île ni objets n à n, on obtient les arrangements correspondants en faisant dans chacun de ces produits toutes les permutations de n objets. Kn effet, i” on forme ainsi tous les arrangements des m objets n à n, puisqu’un arrangement quelconque ne diffère de l’un des produits que par la disposition des objets; 2° aucun arrangement n’est répété, car ceux qui naissent d'un meme produit, diffèrent par l’ordre des objets, et ceux qui proviennent de deux produits différents ne sont pas composés des mêmes objets. Si donc on désigne par C"' le nombre des produits différents de m objets n à n ( on a, puisque chaque produit forme i.2,../i = P„ arrangements ,

A',? m (ni — i ) ( ni — 2) . . . (m ■ — s+ij

267. Nous ferons sur cette formule deux remarques utiles : i°. Le nombre des produits de ni objets n h n étant nécessairement entier, on a ce théorème d’arithmétique: Le produit île n nombres entiers consécutifs est toujours divisible par le produit des n premiers nombres.

2 °. En multipliant liant et bas par 1 . 2 . 3 ...(m — n), on trouve c

.2...«Xl.2.3...(w — n ) ’

et comme le second membre reste le même quand on change n en m — n , on voit que avec m objets on peut faire autant de produits n à n que de produits m — nam — «.Ce théorème est d’ailleurs évident à priori; car lorsqu’on prend n objets sur m , il en reste m — n, en sorte que les produits n à « et les produits m — «à m — n se correspondent deux à deux

2G8. Voici la marche â suivre pour former les produits différents. Soient les cinq lettres a, b, c, d, e. Les produits deux à deux s’obtiennent en multipliant chaque lettre successivement par celles qui suivent; ce sont

ab, bc, cd, de.

ac, bd, ce,

ad, bc,

ae,

On forme les produits trois à trois en multipliant chacun des produits qui précèdent successivement par les diverses lettres qui suivent le dernier facteur du produit considéré; on trouve ainsi

abc, acd, ade, hed, bde, cde.

• abd, ace, bcc,

abc,

En général , pour former les produits de m objets n à n , il faut mettre à la droite de chaque produit de l’ordre précédent les différents objets qui suivent celui qui termine ce produit.