PERMUTATIONS AVEC RÉPÉTITION

269. Le nombre des permutations que l’on peut faire avec les objets distincts a, b,c,... I, en prenant chacun d'etuc un nombre de fois

combinaisons; déterminants. 23y

respectivement égal à a , 6 , 7 , . . . est donné par la formule

ml

dnns laquelle

m ~ a + 6 y -t- . . . -+- F,n effet, ni objets distincts

(7| (Ij , . • . (7 a , by , b?) , . . Ôg , . » « . | /| , /,, • , .

donneraient lien à ni ! permutations. Concevons ces permutations

classées en groupes tels, que dans chacun d’eux , pour passer d'une

permutation à l’autre, il suffise de permuter entre eux les objets

fl, . . « a ; chaque groupe contiendra al permutations, qui se

réduiront à une seule lorsque les a objets a , a, . . a u deviendront

égaux à a ; le nombre total des permutations se réduira alors à

• * , ml

celui des groupes précédents, c'est-à-dire ù — -• On voit de même

et !

que, quand les objets b, b t .. seront remplacés par b, le nombre des permutations devra être divisé par 61, et ainsi de suite. En sorte que la formule finale est bien la formule ( 1 ).