PRINCIPES DE LA THÉORIE DES DÉTERMINANTS
271. Définitions. — Désignons en général par a* une quantité qui change de valeurs lorsqu’on fait varier les indices // et e, et qui n’est nullement la puissance h de a v . Si chacun de ces indices peut recevoir les valeurs 1,2, 3 o* représentera
l’une quelconque
des
quantités
Dans le produit a
", . . . "" permutons les
indices
de toutes les manières possibles; et ajoutons les n\ produits ainsi formés en assignant à chacun d’eux le signe ou le signe — suivant 1 imparité ou la parité du nombre des indices inférieurs que
COMBINAISONS ; DKTKRMINANTS. ï‘\ 1
l’on permute dans le produit a\ a\ a\ . . . a n , regardé comme positif, pour avoir le produit que l’on considère. L’expression ainsi obtenue est ce qu’on nomme le déterminant des n 3 quantités dont n* est le type; on désigne ce déterminant par le tableau (i) où tous les éléments apparaissent d’une manière explicite. Deux éléments tels que «*, a v h , sont dits conjugués; a\ , a], . . . a" n , sont appelés éléments principaux , et leur nombre n indique X ordre du déterminant. Ainsi les déterminants
z=a\a\a\—a\ a\ a\-\-a\ a\ n\— a\ a\a\+a' iU ] a\— a\ aja|
sont l’un du second ordre et l’autre du troisième. Pour fixer les idées, nous prendrons désormais pour exemple dans nos démonstrations le déterminant du troisième ordre; les raisonnements ne perdront rien de leur généralité et ils seront plus faciles à j -,
278. Loi de formation. — Le second membre de l’égalité ( 2 ) peut s’écrire
en sorte qu’on a
al
ai
al
on trouverait de même pour la valeur de ce déterminant
ou encore
etc.
l!\1 CHAP1THF. DIX -HUITIÈME.
On voit ainsi que /jour avoir ta valeur algébrique d'un déterminant écrit symboliquement , il faut multiplier respectivement chacun des éléments d'une même ligne ou colonne par le déterminant de degré immédiatement inférieur qu’on trouve en effaçant dans le déterminant donné la ligne et la colonne dont fait partie l’élément considéré ; on ajoute ensuite ces produits en assignant à chacun d’eux le signe -+- ou le signe — suivant que les deux indices de l'élément considéré sont de meme parité ou de parités différentes.
Ainsi, en désignant par A le déterminant du «''"'ordre (i), et par le déterminant du ( n — i)'**" ordre.
qu'on obtient en supprimant dans (t) la colonne v et la ligne h T
on a
. . a v CL y
• • +fln«»r
Exemple. — En appliquant ces règles aux déterminants
combinaisons; dktekminaxts. 5^3
dont la loi est évidente, on trouve
■A, A’ — i % A (A*- 2»), (A 4 — .’) (A* — 3’), A(A«- 2»)(A»-4*), (A 1 — i*)(A’— 3») (A* — 5»), etc.
275. Propriétés générales. — De la loi de formation qui précède résultent quelques théorèmes généraux qu’il suffira d’énoncer :
l°. On n'altère ni ta valeur ni le signe d’un déterminant en changeant respectivement les lignes en colonnes et les colonnes en lignes. On change au contraire le signe , sans altérer la valeur absolue, lorsqu’on remplace l’une par l’autre deux lignes ou deux colonnes ; d'où il résulte qu’un déterminant s'annule lorsque deux lignes ou deux colonnes deviennent identiques. Un déterminant est encore nul lorsque tous les éléments tC une même ligne ou d'une même colonne sont égaux à zéro.
2 °. En multipliant par une même quantité tous les termes d’une, même ligne ou d'une même colonne , on multiplie le déterminant par cette quantité.
3°. Si les éléments d’une ligne ou d’une colonne sont chacun la somme de plusieurs quantités , le déterminant est égal à la somme d'autant de déterminants qu’il y a de ces quantités ; ainsi l’on a
a-i k 7 bi Cj
^2 b j Ci
Si les quantités ajoutées h, , k, , k, sont les termes b, , b 2 , b 3 ou c,, c„ c 3 d’une autre colonne du déterminant primitif, ou ne different de ces termes que par un facteur constant, le second déterminant du deuxième membre s’évanouit ; ainsi l’on a
a , -+- mb, b , c,
<7, bi Ci
a 2 l mb , b, c ,
b 3 Cj
a -t- mb 3 b 3 e ,
4°. D’après l’équation (4), l’expression
-H al «’ -+- al a,, + .
dans laquelle on suppose h et i> inégaux, représente ce que devient le déterminant 1 lorsqu’on substitue les éléments a' h , ajj, . . . , a" aux éléments a' v , aj,. . n“. Mais puisque ces deux séries d’é-
lémenls constituent chacune une colonne du déterminant A, l'expression précédente représentera un déterminant ayant deux colonnes identiques et sera par suite nulle. On aura donc
(5) a' h *1 -+- a\ a’ -+- a' h <+... + «" a" = o. . L'équation (4') donnerait de même
/ err \ ,* I* , i» h h *' h
(5 ) fl, a, + ...+ «,*« = 0 .
S74. Résolution générale des équations du premier degré. — Les relations (4) et (5) conduisent aisément aux valeurs générales des inconnues d’un système quelconque d'équations du premier degré.
Soit le système
x, + a\ x, -f- aj x 3 -t- . .
• 4- al x„ = «, ,
Multiplions
ces équations respectivement par aj , a’,.
ajoutons. Dans la somme, les coefficients des diverses inconnues, sauf celui de x,, seront nuis, puisque leur composition est la même que celle du premier membre de la relation (5) ; et le coefficient de x, sera égal à A en vertu de l’équation (4). On aura donc
« i < ri- *2 + “i aj + .
«. aj -+ «: «,! -t- «3 a’ -f* ...+ «. a"
de là cette proposition :
i®. Les valeurs qui vérifient un système quelconque de n éqtta-
COMBINAISONS ; ltETEB MINANTS.
lions du premier degré h n inconnues ont pour dénominateur commun le déterminant \ des coefficients des inconnues dans ces équations.
2 °. Le numérateur de la valeur <T une inconnue quelconque s’obtient en remplaçant dans ce dénominateur les divers coefficients de l’inconnue considérée par les termes tous connus correspondants.
Ces numérateurs sont encore des déterminants de l’ordre n , dans lesquels les termes tout connus forment la colonne qui dans le déterminant 4 se compose des coefficients de l'inconnue considérée.
C’est ce théorème déduit de l’observation par Cramer (r;5o), et démontré par Laplace (1772), qui a donné naissance à la théorie des déterminants. Depuis , grâce aux travaux de Lagrange , Vandermonde, Gauss, Jacoki, Cauchy, Sylvester, Hesse, etc., cette théorie a acquis une très-grande importance en raison de l’étendue et de la variété de ses applications dans les diverses branches des mathématiques. « La théorie des déterminants, » dit M. Sylvester, « est une algèbre au-dessus de l’algèbre, un calcul » qui nous permet de combiner et de prédire les résultats des » opérations algébriques, de la même manière que l’algèbre nous u dispense de l’exécution des opérations particulières de l’arith- >• métique. »
271Î. Multiplication des déterminants. — Soient" les deux systèmes
h ',Xi -+- K y* + =
