b\yi 4- b\y i

Substituons dans le premier système les valeurs de x,, x 2 , .»- 3 tirées

246 CHAPITRE UIX-HU 1 T 1 ÉMR.

du second; en faisant, pour abréger,

b\ *+- o\ b\ + a\ b\=c \ , b\ + a\b\ + a\b\=c'„ b \ -h aj b\ -+- a 3 , b\=c\.

on obtient les équations

ej y \ -+- c\ y * -h £3 JT 3 — u i> c; /, -+- c; y, + e\ y 3 — u„

qui donnent pour le dénominateur commun des valeurs de y, , y , , j 3 , le déterminant

rt

Si, au contraire, on déduit

x, du

qu’on porte dans le second système ces valeu

terminant

pour dénominateur commun , on aura des équations en y,, y,, y- t , d’où l’on tirera pour ces inconnues des valeurs dont le dénominateur sera évidemment le produit de A par le détermi-

combinaisons; déterminants.

liant

Les dénominateurs de ces valeurs des y obtenues par deux voies différentes doivent être les mêmes, on n donc

Le produit de deux déterminants de même ordre est donc un nouveau déterminant de cet ordre , dans lequel les éléments qui constituent une même ligne sont tes sommes des produits des éléments d’une ligne de l'un des facteurs par les éléments des diverses lignes de l’autre facteur.

Il est évident qu’au lieu d’effectuer les multiplications des éléments des déterminants facteurs par lignes, on pourrait procéder par colonnes, ou par lignes et colonnes. Ainsi, par exemple, le produit de deux déterminants binaires pourra s’écrire des quatre manières suivantes :

a, b a, 61 ax-\-b%,ay-\-b5 a a -t- cy , «6 -f- cÆ '

c, il y, S j ex-y- df>, cq + dS ba dy , b& -h dS \

a a -H c6, ay -i-d S ba + d 6, by-y-dS

Quand on a plus de deux déterminants, on fait le produit des deux premiers, puis on multiplie ce produit par le troisième facteur, etc. ... On ne parvient pas au même résultat en prenant les déterminants dans un ordre quelconque. Lorsque les déterminants facteurs sont égaux, le produit se nomme élévation de puissance; il est bon de noter que dans un déterminant carré d’un autre déterminant tes éléments conjugués sont identiques entre eux.

! «ra-f- by y aê -1- bÿ \ ex dy , c6 + dS

EXERCICES

I. On donne le nom de combinaisons complètes à celles dans lesquelles chaque lettre peut être combinée avec elle-même et avec tontes les autres. Démontrer que le nombre des combinaisons complètes de m lettres n à n est égal au nombre des combinaisons sans répétition de tn 4- n — i lettres «à n. — Le nombre des arrangements complets de m lettres n à n est m n .

II. En désignant par P, le nombre de manières de décomposer un polygone en triangles par des diagonales, on a

P>i-h — Pu = Pu -1- P«i P 3 4- Pit— 3 Pi ■+•••• -H Pj P/i— i -1- P«.

III. On joint deux à deux par des droites n points tels, que trois quelconques d’entre eux ne soient pas en ligne droite. Quel est le nombre des intersections?