Appliquons ce théorème au produit des m binômes

(.r -t- a) (.»• -+- li)(r + c)...(x-|-/).

Ce produit est un polynôme entier du degré m en x; son premier terme est ■e m , produit des premiers termes des binômes, et lo

BINOME DK NEWTON.

dernier est abc. . ./, produit des derniers termes des mêmes binômes.

Le terme en se compose de tous les produits qu’on obtient en prenant comme facteurs les premiers termes de/n — n binômes avec les derniers termes des n binômes restants; le coefficient de x"‘~ n est donc la somme de tous les produits n à n des seconds termes des binômes, et en désignant cette somme par S„ , on a

[x a) (x 4- b) (x 4- c). . .(je 4- /)

= x”-f- S, j?‘~' 4- S, x m ~* -+- . . . 4- S» . .4 -abc. . ./.

lilNOMK UE NEWTON

I. 278. Lorsqu'on fait « = />== c =...= / dans l’égalité précédente, le premier membre devient

(ar -+- a) m .

Dans le second membre, chaque terme de S, se réduit à a , et , par suite, S, est égal à ma. Chaque terme de S, se réduit à a- ; S, est donc égal à a- répété autant de fois qu’on peut former de produits différents 2 à 2 avec m quantités, c’est-à-dire à

En général , S„ est égal à a" répété autant de fois qu’on peut former de produits n à // avec /// quantités, c’est-à-dire à

On a donc enfin

///(/// — il., .(ni — n -t- i )

— l i la",

C’est la formule connue sons le nom de binôme de Newton.

Le changement de a en — a n’altère pas les termes de rang im

CHAPITRK IIIX-NEUVIEME.

pair qui contiennent les puissances paires de a ; il donne le signe — aux ternies de rang pair; on a donc

(x — a j“ =■ x m — max m ~'

— a * xT~' '

279. Dans le développement de (.r a f‘ tes termes équidistants des extrêmes ont des coefficients égaux.

En effet , le coefficient du terme a" x"~" qui en a n avant lui est le nombre C”‘ des produits différents de m lettres n à n ; celui du terme a m ~ n x" qui en a n après lui, c’est-à-dire qui en a m — n avant lui , est le nombre C’“ n des pro luits différents de m lettres m — n km — n ; or on sait (207) que les deux nombres C” et c:„ sont égaux .

On peut dire encore : (x-f- n)” étant symétrique par rapport à ■v et à a , il doit en être de même de son développement; l’existence du terme /ta" x m ~ n entraîne donc celle du symétrique la m ~ n . or ces deux termes, qui ont même coefficient, sont équidistants des extrêmes; l’un a n termes avant lui et l’autre n termes après lui.

280. Pour passer d'un terme au suivant dans le développement de [x -f- a Y", il faut ajouter t à P exposant de n , diminuer celui de x d'une unité , multiplier l'ancien coefficient par l'ancien exposant de x et diviser par le nouvel exposant de a.

lin effet , le ternie de rang n+i a pour expression

d’où , en changeant » en n — i ,

m (m — i ) . . Am — n — 2)

* n : î fl U. y

et en divisant membre à membre ,

Ce théorème est fort utile dans la pratique, lorsqu’il s’agil de développer une puissance particulière d’un binôme donné.

Exemple :

BINOME DE NEWTON

-I- 70 .r 3 / 1 4 - 168-r 2 j 5 4- 22 - 4 .ey* -+- I 28/’ 281 . Les coefficients vont en croissant tant qu'on a

ni — «4-i

Lorsque /« est pair, le nombre ni 4-1 des termes est impair, et il y a au milieu un coefficient plus grand que tous les autres. Quand ni est pair, il y a au milieu deux coefficients égaux entre eux et supérieurs à tous les autres. Aussi, pour avoir le plus grand nomlire de produits différents de 12 objets, il faut les combiner 6 à 6 ; si l’on donnait 1 1 objets , il faudrait les combiner 5 à 5 , ou 6 à 6.