CHAPITRE DIX-NEUVIÈME

F,n faisant abstraction de la colonne des unités ( dont nous ne tiendrons désormais aucun compte), on voit que le nombre situé à l’intersection de la m iimt ligne et de la /»'•"• colonne est C"‘. L’identité

qu’il est aisé de vérifier, montre que chaque terme du triangle arithmétique est la somme du nombre pincé au-dessus de lui et du nombre placé à gauche de ce dernier. Cette propriété sert à former le triangle; ainsi, pour déduire la cinquième ligne de la quatrième, on dit :

1+0 = 1 , 4+i=5, 6-+-4= ' 0 , etc.

Les termes de la première colonne (toujours abstraction faite de celle des unités) sont dits nombres figurés du premier ordre , ceux de la deuxième, nombres figurés du second ordre,. . . , ceux de la n iimt , nombres figurés du »«“ ordre. La propriété précédente s’énonce alors : le p iim ' nombre figuré de l'ordre q + i est la somme dll p __ i ) iimf figuré du meme ordre et du p iimr figuré de l'ordre

q ; ce qu’on peut écrire

vr-' pf 4 ' — | — fi .

En changeant successivement p en p — i , P 2 > • * • > ona — F « + '+ F’.

En ajoutant, et remplaçant Ff' P a >’ K* P ui *l ue t0US ,es P rcmiers nombres figurés d’un ordre quelconque sont égaux it l’unité et par suite égaux entre eux, on trouve la relation

jF î+ ' — F* + Fj -1- + F’ 4- F*i

qui exprime que la somme des p premiers nombres figurés de l'ordre q est égale au p ,im ‘ nombre figuré de l'ordre 7 + l . Par

exemple, on a

BINOME DE NEWTON

Le p ,m ' nombre figuré de l’ordre q 4-1 est k l’intersection de la [q 4 - 1 )'' 1 *' colonne et de la ( p 4 - q) iimt ligne; il a donc pour valeur

rp+'i p(r --(.p - <-?)