Soit proposé d’extraire la racine n Umt du polynôme

P = A, j#-' -l- ... 4- A,xP~ n 4- ... 4- A,.

Représentons cette racine par

25 H chapitre dix neuvième.

nn devra avoir identiquement

( Ajf + A,xf~' 4-.

Ce qui exige d’abord que les deux membres soient de même degré, puisque les mêmes puissances de x aient les memes coefficients.

La première condition

p = mr

démontre que le problème proposé est impossible, si — n’est pas entier. Supposons cette condition remplie, le nombre entier auquel se réduit — exprime le degré r de la racine dont il faut déterminer les r 4- i coefficients. A cet effet, on élève le polynôme R à la puissance m , ce qui donne un nouveau polynôme de degré mr = p, et l’on exprime que les coefficients de ce nouveau polynôme sont égaux à ceux qui leur correspondent dans le polynôme proposé P; on obtient ainsi p 4- t équations, dont les r 4 - i premières servent à déterminer successivement B, B,, ... , B r ; les suivantes sont des équations de condition auxquelles devront satisfaire les valeurs trouvées de B, B,, B,, ... , B r pour que le problème soit possible.

Examinons la forme des p 4 - 1 équations qui lient les coefficients du polynôme proposé à ceux de la racine. On voit aisément que de tous les termes du développement

(By+ B.x'-' 4. . .4- BnX'" - " 4- ■ . .4- B r )“

qui contiennent B„, celui qui a le plus fort degré en x est m (Bx r )*-' B„^-"= m B„ B*-'

D’ailleurs c’est le seul terme de degré mr — n qui renferme B„. Il résulte de là :

i°. Que l’inconnue B„ ne se trouve dans aucune des n premières équations ;

?.° Qu’elle ne figure qu’au premier degré dans la [n 4-

BINOME DE NEWTON. 239

Ainsi, la première équation ne contient que l’inconnue B; la seconde donne B, par une équation du premier degré, après qu’on a remplacé B par sa valeur; B et B, étant connus, la troisième donne B,, qui n’y figure qu’au premier degré, et ainsi de suite. Rien n’est donc plus facile que le calcul des coefficients de la racine.

Exemple. — Cherchons, par ce procédé , la racine cubique du polynôme

8x*-t- 12 x s — 3 o x‘ — 35 .r 3 -f- 45 • rJ ri- 27 x — 27 .

Pour que ce polynôme puisse revêtir la forme

( <7.r 3 bx-\- e) 3 = n 3 jr*-+- 3« 3 ix 5 -t- 3a&’|

x*ri- Zac 1

ri- 6 abc

ri- 3 b'c

il faut qu'on ait

•r’-f- Sbc'x+c

— 3 o = 3 (ab* -f- «’c) ;

; — 35 = A 3 -f- 6 abc,

1 45 = 3 (ac’’ -+- ô’c),

j 27 = 3 bc 1 ,

Les relations (1) donnent successivement les valeurs

qui rendent les relations (2) identiques. La racine est donc îx’ + r — 3 .

On utilise souvent les équations de condition pour fixer la valeur de certains coefficients indéterminés du polynôme primitif.