IV. Trouver la somme des carrés des coefficients du binôme

V. En désignant par A n p le nombre des arrangements de n lettres php, démontrer qu’on a

nf — A/. -+- B p Ap—t •+• CpAp—, -+■•••■+• A, -+- n ,

où les coefficients B p , C Le se déduisent des relations

L p = 1 - 4 - 2 K. — t * Conclure de là la relation

dans laquelle S p désigne la somme des p iim ‘ puissances des n premiers nombres entiers.

Applications : i' + l' + . ..+ io" =

BINOME DB NEWTON. 26 1

VI. x, a, ë étant des quantités quelconques «t m un nombre entier et positif, on a

(x -H «)" = x* -4- ma (x -4- ë)"*~ 1

a [a — rtê)" -1 (x -4- /lë)"'

+ ma [a — (m — i)ê J” - ! [x + (/« — i) ë] -4- rt (n — mfi)" -1 .

VII. Démontrer qu’en désignant par x et y deux quantités quelconques, et par n un nombre entier positif , on a identiquement

(x-hr) (x-4-y— i). ■ ,(x+y—n- 4-i) x (x— i). . .(x— / i+i) î .2.3 . . .n i .2.3 . . .n

, . ■* rtr-O- • Ir— ”+ 2 ) r(r— ')-(r - n + l )

CHAPITRfc VINGTIEME.