CHAPITRE XX
VARIATIONS DE a r .
207. La nouvelle théorie des logarithmes est fondée sur les propriétés de la fonction a‘, où a désigne un nombre positif quelconque.
Lemme I. — Toutes les puissances commensurables d’un nombre positif sont positives. Cela résulte de ce que l’on ne considère que les valeurs positives des radicaux ( 159).
Lemme II. — Toutes les puissances positives d'un nombre positif sont plus grandes ou plus petites que l'unité , suivant que ce nombre est lui-méme supérieur ou inférieur à i .Le contraire a lieu pour les puissances négatives.
in
En effet, soit a un nombre plus grand que i, et a n une puissance positive de ce nombre ; on a
or, puisque a est supérieur à i, il en est de même de la puissance entière a™, et par suite de ^a m . Si a est moindre que i, on peut
toujours le représenter par , a' étant un nombre supérieur à i ,
et la relation a J = — montre que a* est plus petit que t, puisque a' 1 est plus grand que l’unité.
La dernière partie de l’énoncé résulte de ce que les puissances négatives a~ 1 d’un nombre sont les inverses — de ses puis-
sances positives.
288. Théorème I. — Lorsque la variable x reçoit des valeurs commcnsurablcs croissantes , la fonction a* varie toujours dans le même sens ; elle augmente ou diminue , suivant que a est plus grand ou moindre que l’unité.
En effet, soient x, et .r„ 4 - h deux valeurs comniensurables successivement attribuées à x\ le signe de x„ est arbitraire, mais h est positif; il résulte du lemme précédent, que le quotient
— = a A est plus grand ou plus petit que 1 , suivant que a est
lui-même plus grand ou moindre que l'uuité.
289. Théorème II. — La fonction a 1 varie d'une manière continue, quand x croit d'une manière continue ; en d’autres termes, on peut donnera la variable x un accroissement h assez petit, pour que la fonction a x éprouve une variation moindre que toute quantité donnée t.
Supposons d’abord a > ■ , et soit x, une valeur commensurable quelconque de x; on a
Désignons par - une fraction à dénominateur entier plus grande
que h ; le théorème sera démontré, si l’on fait voir qu’on peut toujours prendre n assez grand pour que l’inégalité
011 son équivalente
soit satisfaite; or on sait que les puissances entières d’un nombre plus grand que 1 peuvent dépasser toute limite (209).
Si a est moindre que 1 , on peut toujours le représenter par~i
a' étant supérieur à l’unité, et dès lors l’égalité « r — -- montre
que lorsque a' x varie d’une manière continue,. il en est de même de a*.
