CHAPITRE VINGT ET UNIÈME

ne soient pas comparables pour leur petitesse à a. La suite

sera composée de termes tels , que, dans un calcul d’approximation , on pourra négliger l’un quelconque d’entre eux vis-à-vis de celui qui le précède.

On dit alors que les quantités a eti,a sont du premier ordre , et que

sont des quantités très-petites du second, du troisième , . . . , du n“ m ‘ ordre.

300 . Cela posé , revenons à l’équation ax 1 -t- bx -+- c — o ,

et posons

c ac

nous aurons

Si a est très-petit , on peut négliger a. y' 1 et écrire comme première approximation

Cette valeur comportant une erreur du premier ordre, en la substituant dans le second membre de l’équation (1), on commettra sur y une erreur du premier ordre, sur y 5 une erreur du même ordre, et, par suite, sur 1 -t- aj’, à cause du facteur a, une erreur du deuxième ordre; on aura donc, aux quantités du second ordre près, la deuxième valeur approchée

La substitution de /, dans l’équation (1) entraînera sur y une erreur du deuxième ordre, sur y 1 une erreur du même ordre, et , par suite, sur 1 -+- ay 1 une erreur du troisième ordre ; il faudra

CALCULS WUMKBIQUfcS. 2^3

donc, dans le développement

supprimer le terme a', qui est de l'ordre des quantités déjà négligées, et prendre pour troisième valeur

/=l + a + îï',

qui est approchée aux quantités du troisième ordre près.

En continuant de même, on trouverait

Xi = x -4- a -+- 2 a’ -t- 5a 3 ,

J-, = i -f-s + îi’+Si’-f i4«S

La loi des coefficients est la suivante :

Le coefficient de a’" est la somme des doubles produits des coefficients de x" et x' n ~', de a' et . . , de a" -1 et de a'‘. Le coeffi-

cient d’une puissance impaire de a, telle que a , " + ‘ , est la somme des doubles produits de a* et a™, de a 1 et a 2 " -1 , . . . , de a" -1 et a”' 1 "', plus le carre'- du coefficient de a*. Ainsi l’on a, pour le coefficient de a- 1 ,

et pour celui de a'

Le lecteur démontrera aisément la généralité de cette loi.

50t. Les formules

JC, = — j{H-* + 2 “’)»

.r, = — t- ( 1 -|- x H- îs’-f 5 a* ) , b

.f, — — ^ ( 1 +xH- 2 i‘+ 53 ! 1 -t-i^«') l