Ou a souvent à résoudre des équations linéaires

dont les coefficients sont fournis par des expériences ou des observations, et alors il arrive presque toujours que le nombre m des équations surpasse le nombre n des inconnues. Les valeurs de x ,y , z, , déduites de n des équations données ne peuvent pas

CALCULS KUMKKIQUKS.

satisfaire exactement aux équations restantes, puisque les observations ne sont pas douées d'une précision absolue; leur substitution, au lieu d’annuler les premiers membres de ces équations, fournit des nombres plus ou moins petits,

qu’on nomme des erreurs , et qui varient avec les n ( ([nations que l’on prend pour déterminer x, y, *, . . .

On choisit alors parmi les équations données et parmi les combinaisons en nombre infini auxquelles elles peuvent donner lieu, u équations telles, que la somme des carrés s’4-6 ,, 4-j">4- ...

des erreurs correspondantes soit minimum.

L’idée qui s’offre la première serait de rendre minimum la somme des valeurs absolues des erreurs ; mais l’analyse ne se prête pas à cette condition qui exclut le signe des quantités; l’équation de condition exprimerait le minimum de l’excès des erreurs positives sur les erreurs négatives, et non celui de la somme des valeurs absolues des erreurs ; elle n’indiquerait qu’une compensation d’erreurs, qui pourraient néanmoins avoir de grandes valeurs absolues. C’est pourquoi on est obligé de considérer une somme de puissances paires des erreurs, et pour ne pas être entraîné dans des calculs très compliqués , on prend la somme des carrés.

308. Voici comment l’illustre Gauss résout ce problème (Mémoires de Gottingue , tome II).

Nous considérerons le cas simple de trois équations à deux inconnues x et y.

Soient donc x et y un couple de valeurs qui , substituées dans les équations

donnent les erreurs e, t",. . . , en sorte qu’on a «*+/'/ + » = s ,