CHAPITRE VINUT ET UNIEME

Supposons qu’on ait calculé les sommes

a 1 + a' 1 -t- a" 1 — (an),

b 1 +b' 1 +b" 1 =(bb),

n 1 -+- n' 1 ■+■ ri' 1 — (un)', ab+ri b' + a" b" = (ab), an ri ri -+- a" n" = (an ) , bn -+- b' ri -+- b" n" — ( bn ) ;

on a

S = i ' -+- t’ 1 -4- t"’ = ( nn ) -+- 2 ( an ) x -t- 2 (bn) y -h (aa) x 1 -+•■ 2 (ab)xy -t-( bb)y ’•

Si donc on pose

A = (an) 4- (aa)x + (“b) y,

l’ expression

.<*"> — i^rJ

{«“'-sn

est indépendante de x; on peut lui donner la forme

s — y = (««,t) + 2 (£«, Or -+-(M»0r%

les coefficients étant calculés d’après les équations

(nn,i) — (nn)

ii ^ n \ (««)(«*)

(bb,i)=(bb)

(aa)

Cela fait , posons encore

l’expression

CALCULS NUMÉRIQUES

* A 1 B s . (bn,iy

(aa) (66,.)- ( "" ,,} (M,t)

est indépendante de/; calcnlons-la et désignons le résultat par («a , 2 ) , il viendra

( bb , i)

-+- ( nn , 2 ) ;

S étant une somme de carrés , et par conséquent pius grande que zéro, et les diviseurs ( au ) , (bb, i) étant positifs (300), le minimum de S aura lieu pour

c’est-à-dire pour

(an) -4- (aa ) x -4- ( ab)y = o ,

(brt, i) •+• (bb,\)y = o.

Ces équations sont faciles à résoudre; il n’y a pas d’élimination à faire; la dernière donne y, dont la valeur substituée dans la première la réduira au premier degré en x seul.

309. On a dit plus haut que les diviseurs (aa), (bb, t) étaient positifs; cette assertion , évidente pour (aa) , qui est une somme de carrés, demande démonstration pour (bb , t).

Or, on a

4 4 ' (aa) (aa)

et le numérateur est une somme de trois carrés

(ab'—ba'y+ (ab"—ba"y+(a'b"—b'a"y.

Rien n’est plus facile que de généraliser la belle méthode précédente , que Gauss a si heureusement appliquée à la correction des éléments de la planète Pallas. (Exercice I.)

ellAClTKK VIINCT ET UNIÈME.

EXERCICES