CHAPITRE VI
PRINCIPES GÉNÉRAUX RELATIFS AUX ÉQUATIONS
DÉFINITIONS-
88. On donne le nom d 'identité à toute égalité qui a lieu entre des nombres ou entre deux expressions qui se réduisent à des nombres égaux , quelque valeur qu’on attribue aux lettres qu’elles renferment.
Exemples :
Une équation est une égalité dont les deux membres n’acquièrent des valeurs numériques égales que lorsqu’on y remplace certaines lettres par des nombres convenablement choisis. Ces lettres particulières portent le nom d'inconnues, et les valeurs qu’il faut leur donner pour transformer l’équation en identité sont les racines ou les solutions de cette équation. Résoudre une équation, c’est trouver ses racines.
Deux équations sont équivalentes lorsqu’elles admettent les mêmes racines, c’est-à-dire lorsque toutes Ips valeurs des inconnues qui satisfont à l’une conviennent à l’autre, et réciproquement.
Un système d’équations est l’ensemble de plusieurs équations qui doivent être satisfaites à la fois. Deux systèmes sont équivalents, et, par suite , peuvent être substitués l’un à l’autre , quand toutes les solutions du premier conviennent au second, et inversement.
Théorème I.
89. En augmentant ou diminuant d'une meme quantité les deux membres d'une équation, on obtient une seconde équation équivalente à la première,
PRINCIPES GÉNÉRAUX RELATIFS AUX ÉQUATIONS. 4
Par exemple , si les valeurs x — z , y = 4 satisfont à l’équation
(1) y 7 -t- 2 ,r’ — 4 ■* = 3 xy — zy, elles satisfont aussi à l’équation
(2) (zx — 1) -f- 2 x 2 — 4 x)=(i.vy — 2 y) -+- (zx — 1),
et inversement.
En effet, par hypothèse, les deux membres de l’cquation (1) se réduisent à deux nombres égaux pour
x -=z 2 et y — 4 ;
en ajoutant à ces nombres égaux, la valeur correspondante de 2 x — 1, on aura deux sommes égalés; et comme ces sommes sont les valeurs numériques des deux membres de l’équation (2) pour
x = 2 et r = 4 1 l’équation (2) est satisfaite par
x = 2 et y — 4- La réciproque se démontre de même.
60 . Corollaire. — On peut transposer un terme d’un membre dans l'autre , pourvu qu’on change le signe de ce terme.
Ainsi l’équation
y 1 -t- 2 x 1 — 4 •* — 3 xy — z y
équivaut à
y ’ -I- 2.r’= 3 xy — 2 y ■+• 4 x.
Il suffit, en effet, d’ajouter \x aux deux membres de la première équation pour avoir la seconde.
Cette opération portait, chez les Arabes, le nom de aljabar (rétablissement, restitution) ;.de là est venu le mot algèbre.
Théorème II.
61 . En multipliant ou divisant les deux membres d’une équation par une même quantité dont la valeur n 'est pas nulle , on obtient une équation équivalente à la première.
Ainsi les équations (1) A -= B ,
sont équivalentes.
Car, en multipliant par la valeur de m les nombres égaux aux T quels se réduisent A et B pour les valeurs de x,y,z, etc., qui satisfont à l’équation (il. On obtient des produits égaux ; et comme ces produits sont les valeurs numériques de m A et de ni B pour ces mêmes valeurs de .r, y, z, etc., l’équation ( 2 ) est satisfaite par ces valeurs.
On prouverait de même que les solutions de l’équation (3 ) conviennent à l’équation { 1 ).
62. Corollaire. — Ce théorème permet de ramener à une forme entière toute équation qui contient des dénominateurs.
Il est, en effet, évident que les dénominateurs disparaissent quand on multiplie tous les termes de l’équation par le plus petit multiple commun de ces dénominateurs. Ainsi l’équation
multipliée par prend la fdfme
— b 3 ) .-r ab = 3a («’ — b *) (a — x ) -4- a [a — b) 3 .
65. Scolie. — Lorsque le dénominateur commun , dont la suppression rend l’équation entière, est un nombre, l’équation transformée est, d’après ce qui précède, tout à fait équivalente à la proposée. Il en est encore de même quand le dénominateur est une quantité algébrique qui ne contient pas d’inconnues, pourvu que la mise en nombres ne réduise pas ultérieurement ce facteur à zéro. Ainsi l’équation (4) tiendra lieu de l’équation (3) tant qu’on donnera à a une valeur différente de zéro et de b.
Quand on multiplie les deux membres d'une équation A = II par une quantité C qui contient une ou plusieurs inconnues, l'équation résultante
