AC = BC
est satisfaite , soit par
ou (A — B ) C = o , C = o,
PRINCIPES GENERAUX RELATIFS AUX ÉQUATIONS
soit par
en sorte qu’elle admet non-seulement les solutions de l'équation proposée, mais encore les racines de l'équation qu’on obtient en égalant à zéro le multiplicateur C.
Par exemple, l’cquation
est plus générale qui* l’équation
elle est satisfaite par
tandis que la proposée n’admet que la racine x
Il suit de là que lorsque le dénominateur commun, dont la suppression rend l’équation entière, contient des inconnues, la transformée n’équivaut à la proposée qu’aulant qu’aucune de scs racines n’annule le dénominateur. Il faut donc, après la résolution de l’équation, rejeter comme étrangères ( c’est-ii-dirc comme introduites par le calcul), les solutions qui , rendant ce dénominateur nul, ne satisfont pas à l’équation primitive.
Ainsi I 3 transformée
de l’équation
admet pour racines les nombres 1 et 6 ; mais la solution i doit être rejetée comme réduisant à zéro le dénominateur 3 (x — 1 ).
Toutefois, lorsqu’on rend une équation entière en la multipliant par le plus petit multiple commun des dénominateurs, l'équation transformée n’admet le plus souvent pas d'autres racines que celles de la proposée.
Théorème III.
64. On augmente en général le nombre tles solutions il’ une équation , en élevant scs deux membres à une meme puissance. Ainsi l’cquation
est plus générale que l’équation
car elle équivaut à
(A -4- B)(A — B) — o, laquelle est satisfaite, soit par
soit par
en sorte que l'équation
contient à la fois les solutions de
A = B et de A= — B.
En général , l’équation
A”‘ = B" ou A™ — B" = o
équivaut à
(A — B) (A"-' + BA m- 3 -+- B 1 A”- 3 -t-. . .-+- B"-') = o, et, par suite, contient non-seulement les solutions de l’équation A — B = o ou A = B , mais encore celles de
68. Corollaire. — Lorsque, pour rendre une équation ration - • nelle, on isole le radical et qu’on élève au carré, l’équation nouvelle est plus générale que l’ancienne.
Ainsi , soit l’équation
PRINCIPES OKNf.RinX RELATIFS AUX ÉQUATIONS
En isolant le radical, puis élevant au carré le résultat
on obtient f
( 2 ) 5 — x x 1 — iox 2.5.
Or on peut vérifier que x = 4 et x = 5 conviennent à cette équation, tandis que la première relation n’est satisfaite que par x — 5. C’est que la dernière équation est aussi bien le carré de
qui est satisfaite par x = 4» { l uc I e carré de
dont la racine est 5.,
Malgré cela, on substitue souvent à une équation irrationnelle une équation rationnelle qu’on a obtenue en élevant les deux membres de la première à une même puissance, après avoir isolé le radical. Mais il faut ensuite chercher par des substitutions quelles sont les racines de l’équation transformée qui satisfont à la proposée, et rejeter les autres racines. Ainsi dans l’exemple précédent la racine 5 était seule admissible.
Thkorèmf. IV'.
66. On peut substituer à l’une des équations d’un système une autre équation formée en combinant ta première , par addition nu soustraction , avec une ou plusieurs des équations primitives.
Par exemple, le système '
équivaut au système
car tout groupe de valeurs «le x, y, z,..., qui transforme les deux membres des équations (i) en nombres égaux, fait évidemment acquérir la même valeur numérique aux deux membres de l’équation
ainsi qu’aux deux membres de chacune des autres équations (2).
Réciproquement, si pour certaines valeurs de x,y, z, , les
équations (2) sont satisfaites, c’est que, pour. ces mêmes valeurs, C et C' deviennent des nombres égaux, et, par suite, que les «'quations (1) sont vérifiées.
Scolie. — f.a démonstration ne dépend ni du nombre des inconnues, ni de la forme et du nombre des équations. De plus, comme une équation n’est pas altérée par l’introduction d’ttn même facteur dans ses deux membres, on peut, avant de combiner les équations d’un système par addition ou soustraction, les multiplier par des nombres quelconques.
Théorème V.
67 . Quand l’une des équations d'un système est résolue patrapport à une inconnue, on peut remplacer cette inconnue par sa valeur dans les autres équations.
Ainsi, par exemple’, le système
principes généraux relatifs aux équations.
équivant au système
ll« 2P+-4 s = 9,
I I -+- njr -+- 5 z ^
En effet, pour qu’un groupe de valeurs
qui convient au système (i), satisfasse au système (a), il faut et il suffit que l’expression ^ représente pour ces va-
leurs le même nombre que x (ici y). Or cette condition est replie, puisque E équation x = - * .. £? fait partie du pre-
mier système.
On démontrerait de même que toute solution des équations ( 2 ) convient aux équations (i).
La démonstration est indépendante du nombre des inconnues, ainsi que du nombre et de la forme des équations.
08. Définition. — Eliminer une inconnue entre ni équations c’est substituer au système primitif un système équivalent dont m — r équations ne renferment pas cette inconuue. Ainsi le procédé qui, dans l’exemple précédent, a servi à passer du système ( 1 ) au système ( 2 ) est un procédé particulier d’élimination, connu sous le nom de méthode, a&kubstitution.
