CAS DE DEUX ÉQUATIONS A DEUX INCONNUES
78 . Une équation du premier degré à deux inconnues x et 7 ne peut contenir que trois sortes de termes :
Des termes du premier degré en x ;
Des termes du premier degré en 7;
' Des termes indépendants de x et de 7.
Si donc , après avoir chassé les dénominateurs, on isole les termes tout connus dans un membre, on aura, réductions faites, une équation telle que
Une seule équation de ce genre ne suffit pas pour déterminer x et 7 : on voit en effet, en la mettant sous la forme
qu’à toute valeur arbitraire donnée à y , correspond une valeur de x; le problème est donc indéterminé, et il faut se donner une autre équation.
76 . Elimination par substitution. — Soient les deux équations
Ce système équivaut ( 75 ) à
qui, en vertu du théorème ( 67 ), peut ctre remplacé par
ou par
puisque l'équation 5 ^ ~ 3 ~ - — 2/ = 7 du premier degré en y
est équivalente , d’après la théorie donnée, à y = 4-
Dès lors, si l'on applique à ce dernier système le théorème (67), on obtient le groupe
qui admet les mêmes solutions que le système primitif.
On voit que chacune des inconnues n’a qu'une valeur, et la marche à suivre peut être formulée ainsi :
Portez dans la seconde équation la valeur de .»• tirée de la première ; et, après avoir résolu par rapport à y la seconde équation transformée, mettez la valeur de y dans la formule de x.
77. Élimination par réduction. — Soient encore les deux équations
En multipliant successivement chacune d’elles par le coefficient que rincounuc y a dans l’autre, 011 obtient le système
1 5 a? — 6 J = 21, qui équivaut au premier (61).
Mais alors, y ayant des coefficients égaux et de signes contraires, l’addition des deux équations en fournira une troisième
qui, substituée à l’une quelconque des précédentes (66), donnera la valeur de a - , puisqu’elle est du premier degré en
RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS I>U PRKMIFR DEGRÉ. 5t)
seul :
On aura la valeur de/, soit en faisant x = 3 dans l’une des équations proposées, soit en opérant directement par rapport à .r, comme on l'a fait relativement à y.
L’esprit de cette méthode consiste à substituer au système primitif deux équations nouvelles qui , contenant l’une des inconnues avec des coeflicients égaux, donnent l’autre inconnue par addition ou soustraction.
78. Le plus souvent les coefficients de l’inconnue à éliminer ne sont- pas premiers entre eux; alors, pour les rendre égaux, on cherche leur plus petit multiple commun, puis on multiplie chaque équation par le produit des facteurs de ce plus petit multiple commun, que ne contient pas le coefficient de l’inconnue dans cette équation.
Exemple :
on a
Le plus petit multiple commun des coefficients de x est donc 5.3.2',
et pour rendre égaux ces coefficients, il suffit de multiplier la première équation par 2’ et la seconde par 5; on obtient deux nouvelles équations dont la différence est
d’où
79. Il est des cas où l’on ne peut trouver des valeurs convenables de x et de y : par exemple, les équations
Go CHAPITRE SF.PTIÀH K.
sont incompatibles. On voir en effet que, quelque nombre qu’on mette à lu place des inconnues, la valeur numérique du premier membre de la première équation sera toujours le tiers de la valeur numérique du premier membre de la seconde, tandis que 7 n’est pas le tiers de 23.
D’ailleurs, en opérant par substitution, on trouvera l'égalitc impossible
,5 1 y ^ - 67 = 23 , ou
qui montrerait bien que les équations primitives étaient contradictoires, si on ne l’avait pas reconnu à priori.
MO. Le système
est, au contraire, indéterminé, puisque la seconde équation étant le produit de la première par 3, on n’a en réalité qu’une relation entre x et y.
Aussi, en opérant par substitution, est-on conduit à remplacer l’une des équations proposées par une identité
ou
