CAS D’US SOMBRE QUELCONQUE D ÉQUATIONS
81. Soient, par exemple, les quatre équations à quatre inconnues
Kn remplaçant, dans les trois dernières équations , x par sa valeur tirée de la première, on substitue au système (i)un système
RESOLUTION IIF.S EQUATIONS OU PREMIER DF.CRK.
équivalent
Gi
6 — 6 j 4- 2 z — q il 3 ~
fi u = 5 ,
..G — 6/ 4- 2z — nu
2 z — 3 ^ 1 — f o y — 3 zi — 3 j
+ IO.V 4- 3z - 4 — ■ • = 9,
6 — fi y -t- 2 z — 9 u
dans lequel les trois dernières équations ne contiennent que r, z
En remplaçant, dans les équations intermédiaires, z par sa valeur tirée de la dernière, on substitue au système ( 2 ) un système équivalent
(3) ^ ou
1 14/ 4-i44« = io5,
i4/ 4- 6 ti = 9 ,
dans lequel les deux équations du milieu ne contiennent que y et «.
(3a CHAPITRE SEPTIÈME.
En remplaçant, dans la seconde équation, « par sa valeur déduite de la troisième, on substitue au système (3) un système équivalent
= io5,
6 — 6 y - 4 - 2 z — 9 it
dans lequel la seconde équation est résolue par rapport à y. Portant alors cette valeur de y dans
on trouve
puis en faisant
dans
on obtient
. RKSOI.DTIOX DFS EQUATIONS OU PREMIER DEGRE.
et enfin la formule
6 — 6 jr - 4 - 23 — o «
donne pour y = -, n— — , z = 3,
Les valeurs des inconnues sont donc
22. Cette méthode, dite de substitution , est évidemment applicable à un système de n équations du premier degré à n inconnues. En remplaçant l’une des inconnues, par sa valeur tirée de l’une des équations, on est ramené à un système de n — i équations à « — i inconnues, sur lequel on opère comme sur le premier, etc.
On n’obtient en général qu’une valeur pour chaque inconnue. Ce procédé est surtout avantageux quand les coefficients sont de grands nombres; dans les autres cas, on préfère la méthode plus élégante des multiplicateurs , qui est due à Bezout.
Soit, par exemple, le système
X + 2Y — I 2 Z = ij ,
on multiplie la deuxième équation par , la troisième par Y, puis on les ajoute à la première ; le résultat
tient lieu de l’une quelconque des équations proposées (60), quels que soient les nombres indéterminés À et Y.
On pose
—— 6 -f* 0. \ -f- 8 V szr O ,
OU
les valeurs
tirées de ces deux relations, réduisent l’équation (i) à
d’où
Si maintenant on annule les coefficients de x et de z dans l’équation (i), on obtiendra deux nouvelles relations en ). et V, d’où l’on tirera pour ces indéterminées des valeurs qui, substituées dans l’équation (t), réduiront cette équation à
De même on obtiendra
en déterminant \ et V par la condition que les coefficients de x et de y dans (i) soient égaux à zéro.
On voit que cette méthode ramène aussi la résolution de trois équations à trois inconnues à celle de deux équations à deux inconnues , et en général change le système proposé en un antre qui a une équation et une inconnue de moins.
