DU SYMBOLE
9;î. Quand une équation donne pour r une valeur «le la forme — 1 on dit souvent qu’elle a Y infini pour racine, et l’on remplace
le symbole — par le signe x > . Voici la raison de cette locution incorrecte. Au lieu d’introduire brusquement l’hypothèse m = o dans la formule
ai
donnons à «des valeurs de plus en plus petites ayant zéro pour limite, la valeur de x ira croissant «*t pourra surpasser tonte grandeur assignable ; «*’esl ce «pi’on exprime en disant «pi’elle devient
FORMULES OENÉRALFS. — DISCUSSION.
infinie. Mais en réalité , quand n prend la valeur o, il n’y a pas de nombre qui, multiplié par o , donne m ; x cesse donc d’exister, et l’équation n’admet pins de solution.
• Oli SVMROI.R
90. Quand une équation donne pour x une valeur tic la forme -j on dit que l’inconnue x est indéterminée ; x peut en effet recevoir alors telle valeur qu’on voudra , parce qu’elle n’est assujettie qu’à la condition de donner un produit nid quand on la multiplie par zéro.
Néanmoins, il peut arriver que l’indétermination annoncée par
le symbole - ne soit qu’apparente; le numérateur et dénominateur
de la valeur de x peuvent avoir un rapport déterminé, et s'annuler seulement à cause d’un facteur commun qu’une hypothèse particulière a réduit à zéro.
Supposons, par exemple, qu'une équation ait donné la formule
«pii pour a = i devient à - ; cette formule peut s’écrire I ( a- 1 + a’ -t- a + l ) ( a — i ) l
et l’on voit qu’au lieu d’etre indéterminée pour a = i , x prend la
valeur finie L’indétermination apparente tenait à l'existence du
facteur commun a — î que l’hypothèse particulière a = i réduisait à zéro.
D’ailleurs, si , au lieu de faire brusquement a — i , on avait poséen désignant par U une quantité décroissante et ayant zéro pour li-
> 'j8 CUAPITnE lltlITlKMF.
mite, on aurait trouvé
( i* -+• 4 )' — i i + 4 h -+■ fi A’ -+- 4 A 1
(|iii à la limite , pour h — o, donne
97. En général, soit nne expression algébrique de la forme — , où M et N sont composés de telle façon qu’on voudra en x,y, z,..., et qui devient - pour x= a, y — b, z — e , — On posera
■r = a + 4, y — b -+- pli , z = r ■+■ f/b , . . . ;
puis, après avoir substitué et réduit le plus possible en supprimant les facteurs communs, on fera 4 = o : on obtiendra ainsi ce qu’on
appelle la vraie valeur de l’expression ^ pour x = a , y = b ,
z = c , . . . . Cette vraie valeur sera d’ailleurs déterminée ou indéterminée, suivant qu’elle se trouvera indépendante des quantités arbitraires ]>, y,..., ou qu’elle contiendra encore, toutes réductions faites, une ou plusieurs de ces quantités; il est, en effet, évident que dans ce dernier cas on pourra faire acquérir à l’expression toutes les valeurs possibles en disposant convenablement de p et de q.
Exf.vplk. — Soient les fractions
rb' — bc' ac -r- ca'
ab' — 4«'’ ab' ba'
Ils
Vf ■ ,, ,,
= o, — ? ~ -, se présentent lune et I autre • a a 1
nui nonr b
FORMULES GÉNÉRALES. — - DISCUSSION. «C
la première fraction devient
c(ap — a) c
a (ap — a') a
elle est donc bien déterminée.
La seconde, au contraire, prend la forme
fin' tjh ua' <y
h (ap — n') np — a'"'
elle est donc indéterminée, puisqn'en choisissant convenablement p et (f, on peut lui faite prendre telle valeur qu’on veut.
98. Lorsqu’on a, comme dans l’exercice qui précède, plusieurs hypothèses à faire, il faut les introduire à la fois; sans quoi, on pourrait faire disparaître une indétermination qui existe réellement. Nous prendrons pour exemple un problème bien connu : Inscrire du ns un rectangle de dimensions données n et b un rectangle semblable à un rectangle donné , c’est-à-dire dont les dimensions aient un rapport donné, ni.
■r et a — x étant les segments du côté a , et y et b — y ceux du côté b , on trouve aisément
d’où
ni {nm — b) m lmb
né — i • né —
Lorsqu’on suppose a — b, et m = i , les deux rectangles deviennent des carrés, et le problème est évidemment indéterminé; car pour inscrire un carré dans un carré il suffit de diviser de la même manière , mais arbitrairement , les côtés du premier carré.
Aussi les formules se présentent-elles sous la forme -, quand on
y introduit simultanément les deux hypothèses; et si l’on cherche leur vraie valeur, en posant
b ex a y- h, ni = i 4- pli ,
8o CHAPITRE HUITIÈME.
réduisant et faisant h = o, on trouve les expressions
que la présence de la quantité p rend réellement indéterminées.
Néanmoins, si l’on fait d'abord a — b , ce qui permet de supprimer le facteur commun m — i, puis ni = i dans les formules simplifiées
am uni
ni - 4-1 J ni -4- î ’
on trouve la valeur déterminée
on lait donc disparaître ainsi une indétermination qui a lien pourtant en réalité.
SYMBOLES —, o x , x — x .
99. Deux quantités peuvent croître indéfiniment en conservant un rapport fini. Ainsi la fraction ~ se présente sous la
forme —i lorsque x est infini, et pourtant l’égalité
montre que cette fraction a pour limite zéro.
Quand une expression devient — pour une valeur indéfiniment
croissante d’une lettre x qu’elle renferme, on obtient souvent la vraie valeur en introduisant la condition x — x , après avoir divisé par une puissance convenable de x.
Exemple I. — La fraction
FORMULES GÉNÉRALES. DISCUSSION
se présente sous la forme — > pour x = ao ; en divisant haut et
bas par x’, on obtient l’expression
qui se réduit à a pour x = 00 .
Exemple II. — Soit la fraction générale
rtx" 1 4- bx m ~'
Ai" 4- Bx* -1 4- . . . ’
dont les ternies sont des expressions entières par rapport à x.
Si m est]>n, en divisant par x", puis faisant x = 00 , on trouve a pour le numérateur et o pour le dénominateur, en sorte que la fraction est infinie.
Si m = n, en divisant par x puis faisant x — co, on obtient
pour vraie valeur la quantité —•
Enfin , si m est n , en divisant par x n , on trouve — ou o pour
la limite.
Ainsi la fraction
vaut - pour x = co .
p # qo
400. En général, quand une fraction - devient — pour une certaine valeur de x , l’expression
devient - pour celte même valeur, et l'on est conduit à chercher o
la limite de cette dernière expression.
De même la recherche de la vraie valeur d’un produit P.Q qui
se présente sous la forme oc . o peut être ramenée à celle du quo-
i ... o lient P : - qui devient -.
101. Deux quantités peuvent croître indéfiniment en conservant une différence finie. Ainsi la différence a -4 - .1 est tou-
jours égale à a quel que soit x.
Wons ne chercherons les vraies valeurs des expressions qui conduisent au symbole so — co , que dans le cas où ces expressions sont de la forme
*M et N étant des polynômes entiers en x qui deviennent infinis pour une valeur infinie de .r.
Cette différence multipliée et divisée par y^M -+- devient — ; elle sp présentera donc sous la forme — ou — , sui-
vant que M — N sera indépendant de x ou contiendra encore r.
Exemple. yx‘ — .jf+îr-t-i — y/.r‘ — ^ 1 ' + 3.r* — 4 est égale à — - pour x = 00 .
