DISCUSSION GÉNÉRALE DES FORMULES ALGÉBRIQUES

108. La démonstration des formules du n° 90 suppose que a et ab' — bn' soient différents de zéro.

En général, pour établir une formule algébrique, on est obligé de faire certaines restrictions, et rien ne- prouve que lors de la mise en nombres, on puisse se fier aux valeurs fournies par la formule dans le cas d’une hypothèse non permise.

La présente discussion a pour objet de mettre en lumière le théorème suivant:

FORMULES GKNÉRALF.S. — DISCUSSION.

Toutes les fois qu 'une formule algébrique donne , pour certaines hypothèses faites sur les coefficients , un résultat déterminé [ou infini), on peut être assuré que ce résultat est exact, c’est-à-dire que ce résultat est celui qu’on obtiendrait en traitant directement les équations primitives pour ce cas particulier.

’ Considérons, par exemple, la formule qui donne x. Cette for* mule

conduit à des résultats exacts tant qu’on attribue aux coefficients qui entrent dans la composition de M et de N des valeurs permises ; pour une hypothèse non permise, elle ne peut prendre que l’une des trois formes

Examinons successivement ces trois cas, en observant qu’une hypothèse non permise est toujours une hypothèse isolée à laquelle on peut arriver par une suite d’hypothèses permises qui s’en approchent de plus en plus.

Dans le premier cas, une hypothèse permise, voisine de l’hypothèse non permise, fournirait un résultat exact de la forme

ir+i’

à mesure que l’on se rapproche de l’hypothèse non permise, les nombres a et 6 tendent vers zéro ; et comme le résultat ne cesse pas de convenir, il conviendra encore à la limite, en sorte que la

valeur ^ est exacte.

Dans le second cas, une hypothèse permise, voisine de l'hypothèse non permise, fournirait un résultat exact de la forme

à mesure qu’on se rapproche de l’hypothèse non permise , les

■ i~ . i - ; i i ■ rr v

nombres a et 8 tendent vers zéro, et le résultat, ne cessant pas de

convenir, est encore exact à la limite. En d'autres termes, - est

la valeur qu'on déduirait des équations primitives en les traitant pour le cas particulier que l’on considère; ce qui veut dire (9i>) que, toutes les fois que la formule donne un résultat de la forme

les équations primitives sont impossibles.

Enfin, dans le dernier cas, une hypothèse permise, voisine de l’hypothèse non permise, ferait acquérir à x une valeur de la forme

mais comme, à mesure qu’on se rapproche de l’hypothèse non permise, les nombres a et 8, tout en se réduisant à zéro, peuvent conserver un rapport déterminé, il ne faut pas conclure à l’indétermination. On doit chercher, par l’artifice général du

n° 97, la vraie valeur de ce et cette vraie valeur, qu’elle soit

finie, infinie ou indéterminée, satisfera aux équations primitives.

Ainsi, en résumé, toutes les fois qu’une formule algébrique donne pour certaines hypothèses faites sur les coefficients un résultat déterminé (ou infini), ce résultat conviendra aux équations primitives; dans le cas de -j il y aura de plus à chercher la vraie valeur comme il a été dit au n" 97. .

105. Appliquons ces considérations aux équations (i) ax. +- by = c, a' x -t- b' y — c',

qui donnent

cb' — bc ne' — en'

r = ab' — £?’ y = a b' — ba y

Supposons les coefficients a, b, a', b' différents de zéro. On a démontré au n° 90 que les formules ( ?.) sont équivalentes aux oqua-

FORMULES GÉNÉRALES. — UI&CUSSION. 85

lions (ij, tant qu’on n’a pas ab ' — ba' — o. Examinons ce qui arrive dans le cas de cette hypothèse non permise.

Si l’un des numérateurs cb' — bc', par e.remple, est nul en même temps que ab' — bu' , l’autre numérateur s'annulera aussi. Car des relations

ab'

on déduit

et, par suite,

ba' — o , cb' — bc' — o ,

— ou ac — ca — o .

Les valeurs de .c et de y se présentant sous la forme - et étant

réellement indéterminées, les équations ( i) doivent, d’après la théorie précédente, former mi système indéterminé, c’est-à-dire rentrer l’un dans l’autre. Or c’est ce qu'il est facile de vérifier; car en multipliant la première équation par b' et la seconde par b , on obtient deux équatiops nouvelles

(3) ab' x + bb' y — cb' , ba' x + bb' y — bc ' ,

qui sont identiques, puisqu’on a pour hypothèse ab' = ba' , cb' — bc' .

Si les numérateurs ne s'annulent pas avec ab ' — ba' , xet y se présentent l’un et l’autre sous la forme —■> et, d’après la théorie précédente, les équations (i) doivent être incompatibles; c’est ce qu’on voit en effet sur les équations (3) qui sont équivalentes aux relations (i), et dont les premiers membres sont les mêmes, puisque ab' = ba' , tandis que les seconds sont différents.

Parmi les divers cas que peut offrir la discussion des formules ( 2 ), lorsque l’on suppose que les coefficients a, b, a', b' peuvent s’annuler, le seul intéressant est celui où l’on a

d'où résultent

■ ab' — ba' = o , cb' — bc' = o ;

il est remarquable qu’alors le second numérateur ac' — ca peut n’ètre pas nul en même temps que le premier; la valeur de x devient indéterminée, y est infinie, et les équations sont contradictoires. Enfin si l'on supposait à la fois b — o, b'— o, ac'— ca'= o, on sait (97) que y est arbitraire, mais que x a une valeur dé*

terminée les équations (i) conduisent au même résultat; elles

ne contiennent plus y et elles se réduisent à x = -