CONDITION D’IDENTITÉ DE DEUX POLYNOMES
104. U rv polynôme entier et rationnel qui renferme une lettre arbitraire x, ne peut être nul que si les coefficients des diverses ) mis sanccs de x sont nuis séparément.
Le théorème est évident pour un polynôme du premier degré A„x + A,; car en changeant x en ax, a. étant un nombre différent de i, on obtient un nouveau polynôme A 0 ax-+- A, qui doit aussi être nul, quel que soit x; la différence A,(a — i)xdoitdonc être constamment nulle, ce qui exige A l) = , o, et, par suite, en remontant, A, == o.
Pour prouver que la proposition est générale, il reste à faire t voir que si elle est vraie pour un polynôme de degré n — t , elle subsiste pour un polynôme de degré n. Or soit
un polynôme de degré n-, changeant x en ax, le nouveau polynôme
A, a" x" -f- Ai a" - ' x"“ l -t- . . , 4 - A n ( ax 4 - A n
devra être aussi nul, quel que soitx; il en sera donc de même de la différence
ce qui exige, puisque la parenthèse est du degré n — 1 , que les coefficients des diverses puissances de x dans cette parenthèse soient mis séparément ; on doit donc avoir, puisque a diffère
FORMULÉS CKNÉRALKS. — DISCUSSION.
de i ,
A # — o j A, - — o , * • » Ah„ et, par suite, en remontant,
lOJJ. Pour que deux polynômes entiers et rationnels qui renferment une lettre arbitraire x soient égaux, il faut que leur différence soit constamment nulle, c’est-à-dire, d’après le théorème précédent, que les coefficients des diverses puissances de x dans cette différence soient nuis séparément ; on enfin, puisque les termes de cette différence sont les différences des termes correspondants ‘ . des deux polynômes proposés , il faut que ces deux polynômes soient composés identiquement des mêmes termes.
On peut même dire, en général, que deux polynômes entiers et rationnels qui renferment un nombre quelconque de lettres arbitraires et indépendantes les unes des autres, ne peuvent être égaux que s’ils sont composés identiquement des memes termes. Il suffit de montrer que si la proposition est vraie pour deux polynômes renfermant n — 1 lettres arbitraires, elle le sera encore pour deux polynômes en contenant n. Or soient deux polynômes contenant n -I- t lettres arbitraires x, y,z,...,t\ après qu’on les aura ordonnés par rapport à x, ils auront la forme
(i) AjJtf-l- A,xf-' +. A p , B.xî-'-f-. . -f- B,,
A„, A, , . . , A,,, B,, . . , B ? étant des polynômes renfermant les n — i variables y, z, ..., r; les polynômes (i) étant égaux, quel que soitx, on doit avoir
mais ces polynômes ( 2 ) étant égaux et ne renfermant que n — 1 variables, doivent être respectivement composés des mêmes termes ; et, par suite, il doit en être de même des polynômes proposés.
APPLICATIONS Dli THÉORÈME PRÉCÉDENT.
106. La proposition qui précède sert à vérifier l’exactitude d’une relation algébrique donnée.
Pour vérifier une relation V = o entre m variables liées entre elles par m — n équations, on déduit de ces équations les valeurs de *n — n variables en fonction des n autres; il faut ensuite que la substitution de ces valeurs dans V = o réduise cette équation à une identité; l’identité deviendra manifeste après l’évanouissement des dénominateurs et des radicaux.
Proposons-nous, par exemple, de vérifier que
y A a -f- \/Bb \JCc -4- ^ D d czz ^ ^A-f- ® “1” C 1^) (** ^ c 4- d) ,
. si l'on a
De ces relations on déduit
et en portant dans la première, on obtient
OU
