Voici un autre usage du même théorème

Lorsqu’un polynôme inconnu et ordonné par rapport à une lettre donnée doit satisfaire à certaines conditions, on l’écrit en laissant indéterminés ses coefficients et même son degré s’il y a lieu; puis on détermine ces coefficients et ce degré en exprimant que le polynôme jouit des propriétés particulières dont il s’agit. Nous allons éclaircir ces généralités par des exemples.

Exemple I. — Trouver la condition pour que le trinôme ax' -f - bx c soit un carré parfait.

Il faut identifier cette expression avec le carré d’un binôme xx ë, c'est-à-dire avec

x 1 x 1 -f 2 aë x -f- ë 2 ;

- la + b -H c + d).

FORMULES GÉNÉRALES. — DISCUSSION. 89

on obtient ainsi les relations

Les deux dernières donnent

a = sJ a , 6 =z\jc,

et en portant dans l’égalité intermédiaire, on trouve

2 \fac — b , ou b 3 — 4 ac — 0 > c’est la condition cherchée ; le trinôme est alors le carré de

108. Exemple II. — Trouver le reste de la division, d'un polynôme par .r — a , et la forme du quotient.

Soit le polynôme

Le diviseur étant du premier degré, le quotient sera un polynôme de degré m — i, tel que

et le reste qui a pour expression •

Ax"‘ 4- A,.*"-' 4- A,x“-»H- . . . -t- A„x™-“ 4- ... 4- A,,a 4- A m — (x— a) (B, x™-' 4-B 3 x" ,-î 4- . . . 4-B„x"-" -t-. . . 4-B„,x4-B„) ,

sera de degré zéro. Nous aurons donc l’expression de ce reste en égalant à zéro les coefficients de x, x 3 , . . . , .r", tirant la valeur de B,„ des équations ainsi obtenues, et portant cette valeur dans A 4 - a B m .

En annulant les coefficients de x, ,r% . . . , j-"', on trouve t v j A* — B, , A, 4- fl B, — B] . A a 4- a Ba — B, , . . ,

* A« ^ Bu B„ + | , , . . a Au, — , 4- a Bm„i — B m .

Multipliant la première équation par a'", la seconde par la dernière parn, et ajoutant, il vient

A t a-‘ 4 - A, fl™-' -4- ... -h Au a”-" -h F A„, a = a B»,.

Le reste A„ 4- a B„ prend donc la forme

c’est-à-dire qu’iï est égal nu résultat de la substitution de a à x dans le dividende. C’est une autre démonstration du théorème (tftf).

Les équations (1) montrent que l’en obtient un coefficient quelconque du .quotient en multipliant le coefficient précédent par a et ajoutant la coefficient du terme de même rang dans le dividende. L’application de cette loi au dividende .é"d~a'" reproduit les formules du n° #6.

EXERCICES