HH
en sorte que le volume de l’alliage peut encore s’écrire
Lorsque les métaux s’allient sans contraction , on a
Cette dernière formule permet de trouver p et p', lorsqu’on connaît x, p, p' et p -+•/>' ; on retombe ainsi sur le problème fameux de la couronne d’Hiéron.
on a donc
If 2 . Exemple III. — Un train dont ta vitesse est v part après un autre train dont la vitesse est v', et le retard est calculé de façon qu’ils arrivent en même temps à la destination. Mais le premier
train est obligé de ralentir sa vitesse de moitié après avoir fait les
— de sa course , en sorte qu’il y a rencontre des trains a lieues avant
ta fin du voyage. Quelle est la longueur totale x du trajet ?
Si le premier train n’éprouvait pas d’accident, il mettrait un
# # temps - pour faire le trajet ; le second train fait ce même trajet
JC
dans le temps - : le retard calculé est donc
et en lui ajoutant le temps nécessaire au second train X - — ^ pour arriver à l’endroit de la rencontre, on a le temps
ou
après lequel la rencontre a lieu. D’ailleurs ce temps est égal à celui
après lequel le premier train ralentit sa vitesse, augmenté de celui
qui s’écoule entre le ralentissement et la rencontre. On a donc l’équation
115 F.xemple IV. — Trois joueurs conviennent qu’à chaque
PROBLÈMES OU PREMIER DEGRÉ
partie le perdant doublera l’argent des deux autres ; ils perdent chacun une partie, puis ils se retirent avec 1 20 francs chacun. Quelles étaient les mises x , y , z?
En admettant que le joueur .r perde la première partie, le joueur y la seconde, et le joueur z la troisième , on voit que l’état des fortunes est successivement
x — y — z, 2 y 2z après la première partie.
2x — 2 y — 22, 3 y — * — ■*, 4 z après la seconde,
4* — 4 y — 4 Z > 6 y — 2z — 2x, 7 z — y — x après la dernière.
En égalant chacune de ces expressions à 1 20 , on obtient les trois équations
d’ofi
x =195, y=io 5 , 2 = 60.
Si l’on remarque que la somme totale possédée à chaque instant par les trois joueurs reste toujours égale à la somme des mises, on voit que la somme des premiers membres des trois équations précédentes doit faire
On est donc conduit à faire cette somme et à substituer à l'une quelconque des équations du système primitif la relation plus simple
qu’il suffit d'ajouter successivement à chacune desproposées, après l’avoir multipliée par 4 , 2 , 1, pour avoir les valeurs de .r, y, z.
L’emploi de cette quantité auxiliaire, la somme des mises, permet de résoudre plus simplement le problème proposé. Pour le montrer, reprenons la question étendue à un nombre quelconque de joueurs :
n joueurs conviennent qu’a chaque partie le perdant doublera l'argent des autres. Après n parties perdues successivement par
g8 CHAPITRE NEUVIÈME.
chacun d’eux , ils se retirent avec des sommes respectivement égales à a, , «, , a 3 , . . . , fl„. Quelles étaient les mises x, , x, , x 3 , . , . , x„ ? Soit xt la mise du k iiml joueur, c’est-à-dire de celui qui perd la p ar tie et se retire avec a/,. • *
Après la première partie , ce joueur possède
a 1 jtj,
après la seconde
après la troisième
et après la A — i
î.* — ' xj.
La somme totale possédée par les n — i autres joueurs est alors
puisque l’argent qui est au jeu , c’est-à-dire le fonds de roulement, est à tout instant
Le joueur en perdant la k iim ' partie donne donc (a, -4- fl, -4-. . .4- a n ) — 2 * -1 x*, et il ne lui reste après cette partie que
ou
2 *x* — ( a, 4- fl, -+- . . . -+- a n ).
Dès lors il double son avoir à chaque coup, jusqu’à la fin, et comme il y a encore n — k parties à faire, sa fortune est multipliée par 2 " t , et il se retire avec
2 "x* — 2 ' 1- * (a, -f- fl, -f- ... -1- a»).
En écrivant que cette expression est égale à a*, on obtient l’équation
2"X* — 2"-* (fl, 4- fl, 4- . . -H An) = «*>
* « d’où l’on tire
fl* 4- 2 "~* (fl, 4- a, -4- ... -1- a»)
PROBLEMES DU PKKMIKK DEC RK.
Si l’on fait dans cette formule £'= i, 2 , 3 , . . . , n, on obtient successivement les mises des divers joueurs.
