PR A

L'équation proposée a donc deux solutions et deux seulement :

+2 et —2.

Considérons encore l’équation :

Elle s'écrit :

ei fmnt EN

et elle exprime que æ est un nombre dont le carré est égal

à — 3. Or, comme nous venons de le voir, il n’existe aucun nombre dont le carré est égal à un nombre négatif —3. L’équation n’a donc pas de solution. |

237. — Considérons, plus généralement, une équation de la forme :

Là

où il n’y a pas de terme en «. Elle s'écrit :

LP T— 4, + et exprime que æ est un nombre dont le carré est égal à

ls À Il y a donc trois cas :

° Sig est négatif, — q est positif et il y a deux solutions:

nl

L—= + V—aQ , œ——Y — a.

» Si q est positif, — q est négatif et il n’y a pas de solu-

lion.

3° Si g—0, l'équation s'écrit :

et il n’y a qu’une solution qui est : M0:

Les mêmes conclusions s’appliqueraient à l'équation : UC 0

qui se ramène à la forme précédente en divisant par a.

238. — Remarque préliminaire. — Nous avons vu (n° 50) que l’on a :

(x + a)? =? + 2ax + a.

On voit donc que si on considère l'expression x? + ax,

ce sont les deux premiers termes d'un carré, dont le premier terme æ est la racine carrée du premier terme x? et

le second terme a est le quotient du second terme 2ax par le double 2% du premier terme de la racine.

Pour avoir le carré complet il faut ajouter a?, qui est le carré du second terme a.

Exewrze. — L'expression : x? + 6 x peut s'écrire : 42 +92:3x. Ce sont les deux premiers termes du carré de æ + 3.

On à, er effet, (x +3} —=x? +G6x+ 9.

Pour avoir (x + 3), il faut donc ajouter 9 à &2 +6 x. ; Ce 5 ee | De même : +? + 5x peut s’écrire &? + 2: — x el ainsi on voit que

ne ce sont les deux premiers termes du carré de ( x + #%, + Pour avoir

le carré complet il faut ajouter à a? + 5x la quantité (E)= 23 2 4 239. — Premier exemple. — Considérons l'équation :

X?+2x—3—0o que uous avons trouvée plus haut. Elle s'écrit : x? + 2% —=3.

Le premier membre est formé des deux premiers termes du carré de æ + 1 et pour avoir ce carré il faut ajouter à ce premier membre 1° = 1. Ajoutons alors 1 aux deux membres de l'équation. Il vient :

LC+2m+i—3+i (@ + 1 —4.

Sous cette forme l'équation exprime que æ + r est un nombre dont le carré est égal à 4. Or il y a deux nombres dont les carrés sont égaux à 4 : ce sont +2 et — 2. On doit donc avoir

ou

Soit : æœ+i——2, d’où DS; OIL: ŒEr—= +5, d'où HET

L’'équation a donc deux solutions qui sont : 1 et —3.