Eee q > 0, l'équation a deux racines données par la

formule

(4) | ob;

où l’on prend l’un après l’autre les deux signes placés devant |

le radical.

2°191 TN 4 < 0, l'équation n’a pas de racines.

. p2 A : x SR 3° Si . — { —=0, l'équation n'a qu'une racine qui est :

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. 205 243. — Remarque. — La formule de résolution :

te Eu fournit les deux racines lorsque le discriminant est positif à condition de prendre successivement devant le radical les

deux signes (+) et (—).

Cette formule est encore applicable dans le cas où le discri-

minant TRY est nul.

En effet, lorsque Re g—=o, elle devient :

mais, au lieu de donner deux valeurs distinctes pour x, elle n’en donne plus qu’une seule.

On peut donc dire que lorsque le discriminant est nul, les deux racines fournies par la formule (4) deviennent égales. C’est à cause de cela que l’on dit fréquemment que, dans le cas où le discriminant est nul, l'équation (2) a ses racines égales ou encore a une racine double.

244. — Exemples. — Pour résoudre une équation du second degré on la ramènera à la forme (2) et on appliquera la règle du n° 242.

Exempce [. — Soit à résoudre l’équation :

xz?— 5x +6—0o.

Ici on à : PS QU 0; Fe A LE RS TL 4 RE Nr

Le discriminant est positif L’équation a donc deux solutions : q

ou :

[rt La IR CT, nn. - San ff ba è RE D UE URE 0 LÉ ET E EU

ExEMPLE IL. — Soit à résoudre l'équation :

Développons ; elle s'écrit :

T'+r+or+totorz—/irx— pb.

Faisons tout passer dans le premier membre et il vient :

Tiht+ 70.

Ici on a : DAS QU donc PR ARS E des â

Le discriminant est négatif, l’équation n'a pas de racines.

Exewpse III. — Considérons l'équation :

Divisons par 4. Elle s'écrit :

On à : DER, ="

L'équation n’a donc qu’une racine (double) ou, si l’on veut, deux racines égales :

245. — Cas de l'équation ax? + bx + c—o. — Lorsque le coefficient de x? n’est pas égal à 1, on ramène l’équation à la forme (2) en divisant les deux membres par a.

Appliquons ceci à l'équation générale :

(1) ax? + bx + c—o.

En divisant par a elle devient :

b € 12 LS RTE AR Det Ent

qui a la forme

(2) L° + PL Q—=0 où on a : Lee —° ' PTE rt

La formule de résolution (4) donne alors

Re bre NOM REP T, 220 4 «&

Réduisons au même dénominateur les fractions placées sous e radical :

DL CRE r AE bac AC TE

La formule de résolution devient alors :

= 24 fic Na Aa

ou, puisque Aa? — 2Q, b? — ac TROIE VER AG.

20 24 et, enfin,

— bHVb? — 4ac nb vb sac

Telle est la formule dans ce cas. On appelle toujours discriminant la quantité placée sous le radical et on arrive alors aux conclusions suivantes :

Pour résoudre l'équation générale (1) ax? + bx + c—0, on forme d’abord le discriminant b? — 4ac :

1° Si b?— 4ac > 0, l'équation a deux racines données par la formule :

— b+Vb?—4ac,

(5) ge =;

2° Si b?— 4ac 0, l'équation n'a pas de racines; 30 Si b?— 4ac — 0, l'équation n'a qu'une racine, dite double (ou deux racines égales) donnée par la formule (>) qui se

réduit à b

à $ sg 7 Det. RIT 208 ÉLEMENTS D'ALGÉBRE. | À 246. — Exemples. — Pour résoudre une équation du

second degré, on appliquera donc la formule (5).

Exewpce [. — Soit à résoudre l'équation :

On a ici :