Signes des racines. — Les relations entre les

coefficients et les racines permettent de reconnaitre

d'avance les signes et les grandeurs relatives des deux racines d’une équation du second degré, sans les avoir calculées.

Considérons, en effet l'équation ax? +bx+c—=o et supposons b?—4ac > 0. Soient +’ et æ” les racines. On a, comme nous l'avons vu,

Le seul examen de =: permet déjà de reconnaître si les deux racines sont de même signe ou non.

Si ' est positif, le produit des racines étant positif, elles sont de même signe.

2° Si = est négatif, le produit des racines est négatif et

elles sont de signes contraires.

Lorsque les deux racines sont de même signe, il reste à savoir quel est leur signe commun; à cet effet examinons la

somme. On a :

LA [44 LC EHL —=——.

Les deux racines étant de même signe (20) La 0 7e 7 SI rs est posilif la somme est positive et elles sont

toutes deux positives;

216 ÉLÉMENTS D'ALG BRE.

SI est négatif la somme est négative et les deux ra-

cines sont {foules deux négatives.

Lorsque les deux racines sont de signes contraires

(i<o) l'examen du signe de la somme permet de recon-

naître quelle est celle qui est la plus grande en valeur absolue.

En effet, lorsqu'on fait la somme de deux nombres de signes contraires (n° 24) cette somme a le signe de celui des deux nombres qui a la plus grande valeur absolue.

Donc, les deux racines x’ et x" étant de signes con-

: C traires (£ > o) ,

Si Li est positif, c’est la racine positive qui est la plus grande en valeur absolue ;

Si EE est négatif c'est la racine négative qui a la plus grande valeur absolue.

3° Lorsque 20 ou c—o, l'équation du second degré

devient ax? +bx—o.

Elle s'écrit :

æ (ax + b) — 0.

Pour que le premier membre soit nul il faut que l’un des deux facteurs soit nul. Ce qui donne :

SOIt C0:

soit ax +b—=o ou L—=—

Il y a une racine nulle; l’autre est égale à DE

Lorsque b et c sont nuls tous les deux à la fois, l’équation se réduit à æ?—0o; elle a alors une racine double égale à zéro.

En résumé, pour reconnaitre les signes des racines sans résoudre l'équation :

. NC 19 ()n eæamine le signe du produit -; a

. e Lu b 2° On examine ensuite le signe de la somme — —. a