Remarque importante. — Lorsque = esl néga

tif on peut toujours affirmer qu'il existe deux racines de signes contraires.

Dans ce cas, en effet, «a et c sont de signes contraires, le produit ac est donc négatif; — 4ac est alors positif et le discriminant b?— 4ac est la somme de deux nombres b? et — 4ac tous deux positifs, il est certainement positif. Les deux racines existent donc certainement. D'ailleurs puisque leur produit est négatif, elles sont de signes contraires.

De là il résulte qu'avant de former le discriminant il faudra toujours regarder d'abord si a et c ne sont pas de signes contraires.

255. — Résumé. — Les résultats précédents peuvent se résumer dans le tableau suivant :

É C On commence avant lout par regarder le signe de 2

FAR C de il n'y a que lorsque à est positif qu'il sera nécessaire de former b? — 4ac pour savoir s’il existe des racines.

On peut aussi remarquer que, lorsque a et que les

e LL b deux racines existent (b?— 4ac > 0), la somme nu peut pas être nulle, car sans cela les deux racines seraient opposées, ce qui n’est pas possible puisque leur produit est positif.

FPS

TABLEAU DE DISCUSSION DE L'EXISTENCE ET DU SIGNE DES RACINES, SANS QUE L'ÉQUATION SOIT RÉSOLUE.

a => o laplusgrande en valeur absolue

C a est positive.

< O P 7 Fa ET la plus g FrEnte en valeur absolue racines

ne 4 b | de signes contraires. Rat les deux racines sont opposées.

RE les deux racin:s b—{ac>o qe 0 positives.

il y à deux x sd > 0 racines. 1e == les deux racines a sont négatives.

faut forme : ; D'ottone b— Kac—o. Il y à deux racines égales et le discriminant. ù

égales à la demi-somme — pe

bP— y ac<o. Il n’y a pas de racines.

Il ÿ a une racine égale à zéro. L'autre racme

Be. b T0: est égale à —-.

ExempLe. — Soit l'équation :

On voit de suite que c et a sont de signes contraires. qe l'équation a deux racines de signes contraires. La somme

ne ——— est positive. C’est donc la racine positive qui est la plus grande

en valeur absolue.

Nous voyons donc que, sans avoir résolu l'équation, sans avoir fail aucun calcul, nous savons que cette équation a deux racines dont l’une est positive et l’autre négative et que c’est la racine positive qui a la plus grande valeur absolue.

ILest aisé de ce rendre compte qu'il aurait fallu ici faire un calcul très long pour voir les résultats en résolvant.

Les racines sont, en effet, approximativement,

r 25986 Le 25984 LL = T'—=— .

9096 9096 Elles sont en valeur absolue très voisines.

$ 3 — Problèmes du second degré.

256. — Généralités. — On dit qu'un problème est du second degré S'il conduit à la résolution d’une équation du second degré à une inconnue.

La mise en équation d’un tel problème s’effectue comme dans le cas des équations du premier degré.

On désigne par la lettre x l'inconnue et on écrit la relation qui permettrait de vérifier l'exactitude du résultat, si la valeur de æ était connue.

On résout ensuite l'équation du second degré obtenue. Cette équation pourra avoir o, 1 ou 2 racines. Le problème pourra donc avoir o, 1 ou 2 solutions.

Traitons d’abord quelques exemples simples.

257. — PROBLÈME I. — Trouver deux nombres connaissant leur différence 7 et leur produit 60.

Désignons par æ le plus petit des deux nombres. Le plus grand sera 7 + x.

D'après l'énoncé, si æ est le nombre cherché, le produit æ (7 + x) doit être égal à 60.

On a donc l'équation :

ou x? + 7% — 60 — 0.

Comme les termes extrêmes sont de signes contraires,

cette équation a deux racines, l’une positive et l’autre négative. Ces deux racines sont :

= 7 EVañg ns

ne te 8 Pete VA) ne ee D.

Il y a donc deux solutions qui sont: 5 et 12; —5 et — 12.

258. — PROBLÈME II. — Calculer les dimensions d'un rectangle connaissant son périmètre 20" et son aire qui est de

Le périmètre est égal au double de la somme des côtés. La somme des côtés est donc égale au demi-périmètre, soit à ro".

Désignons par x l’un des côtés; l’autre sera égal à LOC J

Or, l'aire d’un rectangle est égale au produit de ses deux dimensions. Si donc æ est le côté cherché on doit avoir

æ(10— x) SI

ou X?— 100 + 21 —0.

Cette équation a deux racines qui sont :

Si l’un des côtés du rectangle est de 7”, l’autre Sera de 10— 7 —3"; au contraire, si on prend pour le premier côté 3", le second est 10—3—7". On ne trouve au fond qu’une solution. Le rectangle cherché a pour dimensions 7" et 3". Ceci tient à ce que l’équation formée admet pour racine la longueur de l’un quelconque des côtés. Les deux racines doivent donc être chacune un côté.

REMARQUE. — On aurait pu traiter cette question plus élégamment en se servant des relations entré les coefficients et les racines d’une équation du second degré. En effet, les deux dimensions cherchées ont pour somme 1o et pour produit 21. On est donc ramené à trouver deux nombres connaissant leur somme 1o et le produit or. D’après ce que nous avons dit plus haut (n° 252), ces deux nombres sont racines de l'équation du second degré :

259. — PROBLÈME III. — Division en moyenne et extrême raison. — Etant donnés sur un axe deux points À et B, trouver sur cet axe un point M tel que l’on ait (fig. 28) :

AM’ —MB:AB, (1) en grandeur et en signe.

Prenons comme sens positif sur l’axe le sens de A vers B et soit :

AB— a.

À M’ A M B Fig. 28.

Désignons par æ l’abscisse du point M comptée avec

l'origine A :