TL? — PL + A

Pour que cette équation ait des racines il faut que le

discriminant = — a? soit positif.

Donc :

Si a? <e une solution qui est un rectangle;

Si d? = une solution qui est un carré;

SIA pas de solution.

Dans le cas où rs le discriminant est en effet nul,

les deux racines de l’équation sont égales, le rectangle a ses deux dimensions égales, c’est donc bien un carré. REMARQUE. — On voit que, pour que le rectangle existe, il faut que l’on ait BU AS

ct, lorsque a =È le rectangle est un carré.

On peut donc dire que : parmi tous les rectangles de même périmètre celui qui a la plus grande aire est le carré, car il n’y a pas de rectangle ayant une aire supé-

rieure à 7 qui est l’aire du carré de périmètre 2p. L'inégalité précédente peut encore s’écrire : > 4a?, ou p > 24, ou 2p > 44.

Elle exprime alors que pour que le rectangle existe, il.

faut que le périmètre 2p soit supérieur ou au moins égal à 4a qui est le périmètre du carré donné. Lorsque 2p —=4a,

le rectangle est le carré donné. Ceci exprime que : parmi tous les rectangles de même aire qu'un carré donné, c'est ce carré qui à le plus petit périmètre.

à 4. — Variations de 2°, = ete.

263. — Remarques préliminaires. — Nous avons déjà remarqué (n° 65) que de deux nombres négatifs le plus petit est celui qui a la plus grande valeur absolue.

En d’autres termes, lorsqu'un nombre négatif crott, sa valeur absolue décrott.

Ceci dit, remarquons d'autre part que si a et b sont des nombres positifs, arithmétiques, et si a > b, on a a? > b?.

En d’autres termes, lorsqu'un nombre positif augmente, son carré augmente.

On peut l’établir, avec précision, de la façon suivante :

Pour prouver que a? > b? il faut prouver que a? — b? est positif. Or (n° 52) on a :

Et ainsi on voit que a? — b? est bien positif puisque c’est le produit de deux nombres positifs, à savoir : a—b par hypothèse, puisque a>b, et a + b parce que a et b sont positifs.

264. — Variation de la fonction y —x®?. — Soit x une quantité variable susceptible de prendre toutes les valeurs possibles de — æ à + æ, x est ce que nous avons appelé (n° 498) une variable indépendante, et étudions la variation de son carré æ?.

Le carré d’un nombre est le même que le carré de sa valeur absolue et comme, d’ailleurs, d’après la remarque faite plus haut, le carré de la valeur absolue varie dans le même sens que cette valeur absolue, on peut dire que :

Le carré d'un nombre algébrique varie dans le même sens que sa valeur absolue.

Faisons alors croître x de — (valeur négative excessivement grande en valeur absolue) jusqu’à + (valeur __ positive excessivement grande).

BOURLET. — ÉLÉM. D'ALGÈBRE. 45

SPC NSR TOR EUR

Lorsque la valeur absolue de æ est excessivement grande, son carré æ? est également excessivement grand ; car le carré d’un nombre positif plus grand que r est plus grand que ce nombre.

Par suite, lorsque æ croît de — œ à o, comme æ est négatif, sa valeur absolue décroît de + œ à o, donc son carré a? décroît de + æ à o. |

Ensuite, lorsque æ croît de o à + œ, comme il est positif, son carré æ? croît de o à + ce.

En résumé, la fonction y = x? :

est DÉCROISSANTE dans l'intervalle (— , 0), el CROISSANTE dans l'intervalle (0, + ce).

Pour æ —0, elle prend la plus petite valeur qu’elle puisse

prendre; on dit alors que pour æ — 0 elle est minima et que la valeur o qu’elle prend pour æ = o est un minimum.

265. — résentation graphi- positive Rep "re L grap croît décroît que de la variation de y —x?. — a : ; 0 o (mnimum) Pour représenter graphiquement la NS Ë croit positive variation de la fonction pee y—=X?, + | +o

choisissons deux axes rectangulaires ox, y (voir n° 246) et figurons les divers points de coordonnées x et y obtenus en donnant successivement à æ toutes les valeurs de — œ à + æ et calculant les valeurs correspondantes de y. Pour æ = — œ,y—=+ «, on à un point très éloigné, à gauche en haut. | |

Quand æ croît y décroît; la courbe descend.

Figurons-en un certain nombre de points (fig. 29) :

pour æ——2 , ona: y—4 ce qui donne le point (,

— L= -— I , — Yy— 1 — D

I Li A’