TL—=—— ) — YU = = 4 2 J

— L— oo, = y —0 ur 0.

La courbe vient passer à l’origine.

On a, pour les valeurs négatives de æ, une première branche descendante C’ B’ A’ O.

Fig. 29.

Lorsque æ devient positif, y croît et la courbe monte

alors de gauche à droite.

Elle part de l’origine, monte et s'éloigne indéfiniment à

droite en haut.

Traçons-en quelques points :

pour 2=— on à : => ce qui donne le point A,

— LI = Y—1 == B, On a ainsi une seconde branche de courbe ascendante

OABC.

Les deux branches C'B'A'O et OABC sont symétriques par

rapport à oY.

En effet, pour deux valeurs opposées de æ, y a la même valeur. On obtient donc deux points ayant même ordonnée et situés de part et d'autre de oy à la même distance. Par suite, les points obtenus pour les valeurs positives de æ sont symétriques de ceux qu'on obtient pour les valeurs négatives.

Ainsi les points À et 4”, B et B’, G et C’ sont symétriques par rapport à oy.

266. — Variation de y —ax?. — Considérons, plus généralement la fonction y — ax? de la variable æ où a désigne un nombre fixe positif ou négatif.

La variation de cette fonction se déduit immédiatement de celle de la fonction y=—x? en appliquant le théorème du n° 67.

Il résulte, en effet, immédiatement de ce théorème que lorsqu'on multiplie une quantité variable par un nombre positif, le produit varie dans le même sens que cette quantité.

Si, au contraire, on multiplie une quantité variable par un nombre négatif, le produit varie en sens inverse.

Si, en effet, on a LR Ci 1° Sia>o (en vertu du théorème du n° 67) (HR HE ISLE LO, CD TUE A Ainsi, lorsque æ passe de la valeur +” à la valeur +’, si

son carré æ? croît, ax? croît si a est positif et ax? décroît si a est négatif.

267. — Cas de a >0. — Il résulte de ce qui précède que ax? varie dans le même sens que x? lorsque a est posihif. Les variations sont représentées par un tableau absolument semblable à celui qui figure au n° 264.

La courbe représentativé a exactement la même forme que celle de la variation de y—x®, c’est-à-dire a la même forme que celle de la figure 29.

ExEMPLE. — Construisons, par exemple, la courbe représentative de la fonction LOT = A x?

Prenons deux axes rectangulaires ox, oy et une unité de longueur

Fig. 30.

arbitraire sur ox. Nous connaissons sa forme générale, 1l nous suffit d’en tracer quelques points :

DORE 0 46 = OU-a?: y—=T—02 +; 4 4 = Die LA — Hi, — A QI — Y—= - :

Nous avons ainsi six points qui nous donnent la courbe de la figure 30. Cette courbe est plus ouverte, plus large que celle de la figure 29.

268. — Cas de a <o. — Lorsque a est négatif, le produit ax? est toujours négatif et varie, comme nous l'avons vu, en sens inverse de æ2.

Inscrivons dans le tableau ci-joint la variation de x? el

celle de ax? qu’on en déduit : (a <o) DS, RS 7 Lorsque æ croît de — à 0, x x? ax?

a x? croît aussi de — æ à o. RE ; * C — D 2% | —o

Puis, lorsque æ croît de o à : à

Hé tolé d \ croit | décroît [négatif + a, AT ecrotl GORE: positif | croit 3 = : 2 2 e

Pour x —0, la fonction ax? at # à o (maximun teint sa plus grande valeur, on dit positif [négatif qu'elle est maxima, et la valeur croit | croit [décroit qu’elle atteint est un maximum. + | + | —

La courbe représentative est tout entière au-dessous de ox, puisque y est toujours négatif.

Il est facile de la déduire du cas précédent. Si, en effet, on construit simultanémert les deux courbes Y— 20 "et YEARS

on constate qu’elles sont symétriques l'une de l’autre, par rapport à 0æ.

Fig. 3r.

En effet, pour une méme valeur de x, les deux valeurs de y correspondantes sont opposées. Pour une même

abscisse OP (fig. 31), on obtient deux points M et M' symétriques par rapport à ox, puisque que les deux ordonnées ;

PMÆNT et PM'=— 2!

sont opposées.

Lorsque æ varie de —œ à +, le point M décrit la courbe C (fig. 31) située au-dessus de ox; le point M

décrit alors la courbe C’, symétrique de C par rapport à ox, représentative de la fonction y= — 2æ?,

YARIATIONS DE FONCTIONS. 951

D'une façon générale, les deux courbes C et C’ représentatives des deux fonctions obtenues en donnant à «a des valeurs opposées sont symétriques par rapport à ox.