LION, D
On appelle earactéristique d’un logarithme positif la partie entière du logarithme.
Il résulte de ce qui précède que la caractéristique est égale à l’exposant de la puissance de ro mise en facteur. Par suite :
Ainsi :
log 21,7 — 1 + log 2,17, log 3580 — 3 + log 3,58, .
log 45900 —4 + log 4,59. :
La caractéristique du logarithme d'un nombre plus grand que 1 est égale au nombre des chiffres de sa partie entière moins un.
La mantisse est ensuite la même que celle du nombre compris entre 1 et ro obtenu en reculant la virgule.
312. — Nombres plus petits que 4. Caractéristiques négatives. — Remarquons tout d’abord que le logarithme de l'inverse d'une puissance de 10 est égal à l’exposant changé de signe.
On a en effet (n° 296)
log — —— log 10% — — n. log 10 ——n.
ET CA J ARE ne À kg - RE rie uns Ar er, : FRE a. Eee Feat 22
976 ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE. | TRS Cela étant, considérons un nombre quelconque plus petit que 1, par exemple 0,0657; on peut l'écrire :
Q,0097E mr RL 2 On a donc :
log 0,0657 — log — + log 6,57 et, par suite, log 0,0657 — — 2 + log 6,57.
Le logarithme de 6,57 est donné par la table, il est égal à 0,8176. On a donc :
log 0,0657 — — 2 + 0,8176.
On pourrait effectuer cette différence; mais, pour la commodité des calculs, on se garde bien de le faire. Cependant, pour abréger l'écriture on écrit ceci :
log 0,0657 ms 2,8176,
en surmontant 2 d’un trait. 4
= 2 est encore ce qu’on appelle la caractéristique et 8176 est la mantisse.
313. — Plus généralement, tout nombre plus petit quer « peut être considéré comme le produit d’un nombre compris entre r et 10, obtenu en reculant la virgule à la droite du premier chiffre significatif de la partie décimale, et de l'inverse d’une puissance de ro.
L’exposant de la puissance de ro est égal au nombre des rangs dont on a reculé la virgule, c’est-à-dire au nombre des zéros situés à gauche, y compris celui qui se trouve avant la virgule.
Ainsi on a :
0,0000/493 es 4,93.
Il résulte de là que le logarithme d’un nombre plus petit que r est la somme : d'un nombre entier négatif qu'on appelle la caractéristique et d'un nombre positif plus petit que 1 dont la partie décimale est appelée mantisse.
lar exemple :
log 0,257 — log = + log 2,57 — — 1 + log 2,57, log 0,0031 — log = + log 3,1 —— 3 + log 3,r, log 0,0000493 — log Let + log 4,93 — — 5 + log 4,93.
La caractéristique du logarithme d'un nombre plus petit que 1 est un nombre entier négatif dont la valeur absolue est égale au nombre des zéros situés à gauche du premier chiffre significatif de la partie décimale, y compris le zéro qui est à gauche de la virgule.
La mantisse est la même que celui du nombre compris entre r et ro obtenu en reculant la virgule.
Ainsi on a, d’après les tables :
log 2,57 —0,4099, log 3,10=—0,4914, log 4,93 — 0,6928.
On a donc :
log 0,257 ——- 1 + 0,4099 — 1,4099, log 0,0031 — — 3 +- 0,4914 —3,4914, log 0,0000493 — — 5 + 0,6928 — 5,6928, en employant l'écriture abrégée.
314. — Remarque. — Nous avons toujours supposé jusqu'ici, dans les exemples traités, que le nombre obtenu par suppression de la virgule dans le nombre donné avait au plus trois chiffres.
Lorsque le nombre donné a plus de trois chiffres on ne considère que les trois premiers.
Cela revient à faire une approximation.
Ainsi, si je considère le nombre 25,238, je puis dire que 25,2 en est une valeur approchée. Je chercherai donc le logarithme de 25,2 qui sera une valeur approchée du logarithme de 25,238.
I ne faut pas perdre de vue, en effet, que les caleuls.
logarithmiques ne sont que des calculs approchés, mais généralement très suffisants dans la pratique courante. Cependant, lorsque le premier des chiffres que l’on néglige est plus grand que 5 il sera bon de forcer le dernier chiffre conservé d'une unité.
Ainsi on prendra pour valeur approchée de 5,738: le nombre 5,74 qui est approché par excès, mais plus approché que 5,73.
315. — Résumé. — Tout ce que nous venons de dire sur la recherche du logarithme d'un nombre positif se résume alors dans la règle suivante :
Règle. — Pour trouver le logarithme d'un nombre positif :
1° On calcule la caractéristique.
Si le nombre est plus grand que 1, la caractéristique est
positive et égale au nombre des chiffres de la partie entière diminué de 1.
Si le nombre est plus petit que 1, la caractéristique est négative et égale, en valeur absolue, au nombre des zéros situés à gauche du premier chiffre significatif de la partie décimale, y compris le zéro à gauche de la virgule.
2° On cherche 1a mantisse.
Pour cela on supprime dans le nombre la virgule. Si le nombre obtenu a plus de trois chiffres on ne conserve que
les trois premiers. Si le nombre a moins de trois chiffres on.
complète à trois par des zéros à droite. On trouve alors la mantisse dans la table comme il a été dit au n° 308.
En appliquant cette règle on a :
GPS SE EE PET € D log 4,253 —0,6284, log 0,317 — 1,5011, log 2878 —3,4594, log 0,00317 —3,5011, log 2—0,3010, log 425,3 — 2,6284, los 00,2— 2,3010.
Remarquons, sur ces exemples, que deux nombres qui ne diffèrent
me
que par la place de la virgule ont même manlisse du logarilhme.
Pour le logarithme de 2878 nous avons cherché la mantisse de 288 en forçant le chiffre 7 d’une unité d’après la Remarque faite plus haut (n° 314).
316. — Problème inverse. — Il nous est facile maintenant de traiter dans toute sa généralité le problème inverse : Trouver un nombre connaissant son logarithme.
La mantisse donne les chiffres qui composent le nombre.
La caractéristique indique la place de la virgule.
Il nous suffira d'énoncer la règle qui s'explique d’ellemême.
Règle. — Pour trouver un nombre connaissant son logarithme :
1° On cherche ses chiffres.
Pour cela on considère la mantisse qu’on ramène à n'avoir que trois chiffres, en supprimant ceux qu'il peut y avoir de trop à droite. La table d'antilogarithmes donne alors les chiffres du nombre cherché comme il à été dit n° 309.
2° On place la virgule.
Si la caractéristique est positive on sépare, par une virgule, un nombre de chiffres à gauche égal à la caractéristique augmentée de 1.
Si la caractéristique est négative, on écrit un nombre de zéros à gauche égal à la valeur absolue de la caractéristique et on sépare le premier zéro par une virgule.
L'application de cette règle donne :
RL 31 donc Te 20517, log y—2,781, donc y—0o,06039, | Br 0 1230 d0n0 72 r,927.
Supposons encore que l’on ait :
log u— 5,6928.
Nous supprimons le dernier chiffre 8, mais nous forçons le précédent d’une unité (n° 314), l’antilogarithme de 5,693 donne : U—0,00004932 Soit enfin, log {— 1,4099.
Nous cherchons l’antilogarithme de 1,410 et nous trouvons :
317. — Applications des logarithmes. — L'emploi des logarithmes peut servir à faire très rapidement les calculs suivants : multiplications, divisions, élévations auæ puissances, extractions de racines.
Mais il ne faut pas oublier que ces calculs ne sont que des calculs approchés qui ne fournissent que trois chiffres significatifs avec les tables à quatre décimales que nous employons.
Pour avoir une plus grande approximation, il faudrait employer des tables plus complètes à 5, 7 ou 8 décimales.
318. — Produits. — Pour effectuer un produit on s’appuie sur la propriété I (n° 302).
On calcule les logarithmes des facteurs et on fait la somme de ces logarithmes. On a ainsi le logarithme du produit et pour avoir ce produit lui-même on n'a qu'à faire le problème inverse (n° 316).
Exewpre. — Soit à calculer le pro:luit :
On à :
log 423 — 2,6263
log 0,0082 —3,9138
log 0,743 — 1,8710
log 36,17 —1,5587 Somme : log x — 1,9698.
Nous cherchons l’antilogarithme de 1,970, et nous trouvons D +970,
On a ici à faire une somme de logarithmes. Comme il y a des logarithmes à caractéristiques négatives, on fait une somme algébrique.
Les mantisses étant toutes positives, on fait la somme arithmétique des mantisses et la somme algébrique’ des caractéristiques en leur ajoutant la partie entière prove-
nant des mantisses,
Dibne 28 Len #$ JE UF
TT
Lot hate
ia r fat Bte def Ed
Ainsi, dans l’exemple précédent, on à fait la somme arithmétique des mantisses; ce qui a donné 9698 pour partie décimale et 2 pour partie entière.
On à fait ensuite la somme algébrique
de cette partie entière et des caractéristiques.
319. — Cologarithmes. — Lorsqu'on cherche le loga- (47 b rithmes : log a — log b, opération plus compliquée qu’une addition. Pour éviter cette soustraction on peut écrire
rithme d’un quotient — on a à faire une différence de loga-
log £ — log a + log a
On serait ainsi ramené à une addition si on connaissait
log ÿ- C’est là la raison de l'emploi des cologarithmes.
On appelle cologarithme d'un nombre le logarithme de l'inverse de ce nombre.
Or, on a :
colog a—log =— log 1 —]log a, donc colog a——log a, puisque log 1 —0.
Le cologarithme d’un nombre est égal à son logarithme changé de signe; mais, il faut mettre ce cologarithme sous la forme ordinaire d’un logarithme.
Or, un logarithme ordinaire est de la forme c+m; ce étant la caractéristique, c’est-à-dire un nombre entier positif ou négatif et m un nombre positif plus petit que 1.
Si donc 7
log æ—c+m,
on a :
colog æ ——c—m.
Ceci s'écrit :
Colog æ——{(1+cC) +1—m, — (1 + c) est entier positif ou négatif, 1—m est positif et plus petit que 1. Donc—(1+c) est la caractéristique et 1—m la mantisse.
Soit, par exemple, log æ —3,2894 on à : C—=3, MN 021004, donc — (1+c) —=—;4, 1—M—1I—0,2894 —0,7106.
On remarque que, pour avoir 1 —m, il faut prendre les compléments à 9 de tous les chiffres de o0,2894, sauf du dernier à droite dont on prend le complément à ro.
D'où la règle suivante :
Règle. — Le cologarithme dun nombre a pour caractéristique le nombre obtenu en augmentant la caractéristique du logarithme d'une unité et en changeant le résultat de signe.
La mantisse du cologarithme s'obtient en prenant les com-
pléments à 9 de tous les chiffres de la mantisse du loga- F rithme, sauf pour le dernier chiffre significatif à droite dont Ÿ on prend le complément à 10. Si à droite du dernier chiffre “
significatif il y a des zéros, on les recopie.
ExEMPLE. — On a :
log 7,05 — 0,848,
O7 2 DE log 0,0705 — 2,8482, log 0,2 — 1,3010, (710
log 423 — 2,6263.
On en déduit :
colog 7,05 — 1,1518, colog 0,070 — 1,1518, | colog 0,2 — 0,6990, | .
colog 423 — 3,3737.
320. — Quotient. — D'après ce qui précède, le logarithme d’un quotient est égal à la somme du logarithme
du dividende et du cologarithme du diviseur. Ceci donne le logarithme du quotient d’où on tire la valeur du quotient lui-même.
ExemPce. — Soit à calculer le quotient 4,86 10,0792 On à :
log 4,86 — 0,6866 colog 0,0732 EST ,13959 log Del ,822 I En se reportant à la table des antilogarithmes, on trouve Le 66,37.
Le calcul du cologarithme de 0,0732 à été fait à vue, sans écrire le logarithme. C’est ce qu'il faut faire pour la rapidité des calculs. Ainsi, dans ce cas, nous avons d’abord calculé la caractéristique en disant : la caractéristique du logarithme serait — 2, donc celle du cologarithme est —(—2<+1)— +71. Ceci se fait de tête, et on écrit la caractéristique. Ensuite, pour la mantisse, on écrit à vue les compléments à 9 des chiffres de la mantisse inscrite dans la table. On appli-
que donc la règle précédente sur la table, sans se donner la peine de recopier inutilement la mantisse du logarithme.
321. — Puissance. — D’après la propriété III (n° 306), il est facile de calculer une puissance d’un nombre quelconque. Pour cela, on calcule le logarithme du nombre, on le mulliplie par l’exposant et on a ainsi le logarithme de la puissance que l’on obtient ensuite par la table d’antilogarithmes.
Exemeze. — Soit à calculer :
