Formule générale. — Soit a un capital placé à
à L4 A (4 l intérêts composés au taux {. Posons encore rs + étant
l'intérêt de r franc en r an.
L'intérèt rapporté par le capital a au bout d’un an sera (formule (2) n° 327) ar.
En ajoutant cet intérêt au capital, celui-ci devient :
a+ar—=a(1+r).
Cette égalité prouve que :
La valeur acquise par un capital au bout d'un an s'obtient en multipliant ce capital par 1 + r, r étant l'intérêt simple de 1 franc en un an.
Au bout de la première année le capital «a est devenu
INTÉRÊTS COMPOSÉS. 289 a(1 +7). D'après ce qui précède sa valeur au bout de la seconde année sera
On obtient la valeur acquise au bout de la troisième
année en multipliant celle-ci par 1 +, ce qui donne : a (+ (tr) =a (+; et ainsi de suite.
Pour chaque année de placement on multiplie par 1 +7. Pour n années de placement on multipliera n fois par 1 ++, c'est-à-dire par (1 +)".
Donc :
Là valeur À acquise par un capital « au bout de n années
de placement à intérêts composés au taux t est donnée par la formule
(3) ea (1 +r=a(i+
330. — Calcul pratique. — Pour appliquér cette formule on se servira des logarithmes; on a, en effet,
(4) log À — log a + n.log(1 + 2).
C’est la formule de calcul pratique.
On voit qu'il faudra multiplier la valeur log (: - a)
par n. Or, si on ne connaissait la valeur de ce logarithme qu'avec 4 décimales, en multipliant par n on ferait des erreurs assez grandes dès que n serait un peu grand. Pour cette raison, il est bon d’avoir les valeurs de ce logarithme avec un plus grand nombre de décimales.
Voici un tableau qui donne les valeurs de log (: + 2)
pour les valeurs usuelles de f, avec 10 décimales.
BOURLET,. — ÉLÉM, D'ALGÈBRE. 19
log(i++)
Dans le produit n. log (: + 2. effectué, grâce à ce S
tableau, on ne conservera ensuite que les 4 premières décimales.
331. — PROBLÈME I. — Un capital de 1250 francs est placé pendant 8 ans, à intérêts composés, au taux de 3 1/2 oo. Qu'est-il devenu au bout des 8 ans?
Ce capital est devenu : | -
BARS } A 19250 (G+) ne et on a (formule (4), n° 330),
log A — log 1250 +8 . log 1,035.
log 1250 — 3,0969, L:
8 log 1,035 — 0,1195, s
log À —3,2164, N == T04 440
332. — PROBLÈME II. — Une. propriété d'une valeur de 5840 francs avait été enlevée à un fermier pendant la Révolution en 1793. Ses héritiers réclament le remboursement de la propriété avec les intérêts capitalisés au taux de 3 ofo. Quelle serait la somme due aux héritiers en l'an 1903?
INTÉRÊTS COMPOSÉS. 291 Le temps du placement serait N — 1903 — 1793 — 110 ANS.
La somme serait donc donnée par la formule :
log À — log 5840 + r10 log 1,03.
La somme due serait de 150 700 francs, environ.
333. — Calcul du capital à placer. — De la formule (4) du n° 330, on tire
log a— log A---n log (: SE ss) ou () log a— log À + n colog (: AE =)
Cette formule permet de calculer le capital a qu'il faut placer pour obtenir au bout de n années un capital À à intérêts composés au taux é.
334. — PROBLÈME III. — Quelle somme faut-il placer. à intérêts composés au taux 4 ofo, pour avoir au bout de 10 ans 100 000 francs ?
Cette somme est donnée par la formule (5)
log a — log 100 000 + 10 colog 1,04, log a— 5 + 1,8297 — 4,8297, Ga — 037010 fr.
335. — Calcul du taux. — De la formule (4) du n° 330, on tire
log (1+.5)= see,
ou log À + colog a
{ (6) log (: + =) =
2 99 ‘7 ÉLÉMENTS D'ALGÈRRE. SITE
URL A di le TRE CA LE RULES
ae Û
Cette formule permet de calculer le taux # auquel il faut placer un capital a pour qu’il devienne A au DRE den ; à EE
années. | SES La RUE fournit log (: + =) ce qui donne 1: TA d’où on déduit facilement £.
336. — PROBLÈME IV. — À quel lauæ faut-il place: 3000 francs pour qu'ils produisent, à intérêts composés,
5 000 francs en 15 ans?
La formule (6) donne, en y faisant :
l log: 5000 + colog 3000 log (à + — IE 99 E0 EEE,
log 5000 —3,6990
colog 3000 — 4,529 SOMME — 0,2219.
Donc :
LLN 20; 29 00 RE ; log (: +e)= 15 —0,0146, d'ot RASE 35 CNRS 100 ME
ce qui donne : 3 t—3,»51pOuT 100:
on tire finalement log A— log a
